II. — Intégrales hyperelliptiques

4. Les intégrales les plus importantes qui aient donné lieu à une théorie complète sont les intégrales de la forme

(A) j¥{x,y)dx,

F étant une fonction rationnelle dex ct^, et j' une fonction algébrique quelconque de x^ c'est-à-dire une fonction liée à x par la relation

où /est un polynôme. Les plus simples de ces intégrales, après celles 011^' est une fonction rationnelle de x^ sont celles où^ est liée à X par la relation

R(x) étant un polynôme que nous pouvons supposer n'avoir qur des racines simples. De telles intégrales sont appelées /r//?ere//i/>liques.

Ce polynôme peut être de degré pair ou impair; les deux cas se ramènent Tun à l'autre. Supposons le polynôme de degré pair \ip : posons, en désignant par a une racine de R(^),

l'intégrale se trouvera ramenée à une intégrale de même forme, mais où le radical portera seulement sur un polynôme de degré 'Àp — I ; on aura en effet

Ri(-)

K| (5) étant un polynôme de degré ip — i .

Inversement, si l'on a un polynôme R {x) de degré impair ip — i ,

il suffira de poser

pour être ramené au cas d'un polynôme de degré 2/?.

Ceci dit, considérons l'intégrale (2) : la fraction rationnelle V{x^y) peut se mettre sous la forme

les M et N étant des polynômes en a?. On élimine pour cela toutes les puissances de y autres que la première en remplaçant j^^" par R« ety-««+* par^R".

Si nous multiplions les deux termes de F par M| — N|j^, nous aurons

V et Q étant des fractions rationnelles de j: ; ou encore, en remplaçanty par , nous aurons, d'une manière générale,

A et B étant des fractions rationnelles quelconques de x. En formant l'intégrale (2) nous avons d'abord

A dxj

intégrale d'une fraction rationnelle déjà étudiée, et l'intégrale, dont nous devons maintenant nous occuper.

dx.

La fraction rationnelle B peut se décomposer en un polynôme et en une suite de fractions simples dont le dénominateur est une puissance d'un binôme {x — a). Nous avons donc finalement les deux types suivants

/f{x)dx r ^(x)dx

f{x) et <f{x) désignant des polynômes, et a un entier positif.