Prenons d'abord les intégrales du premier type

La discussion se fera de la même manière que R soit de degré pair ou impair; il est néanmoins indispensable de faire une hypothèse particulière. Nous supposerons dans la suite que R(.r) est de degré 2/? 4- 1. Sans être essentiel au fond, le choix d'un polynôme de degré impair est préférable pour le développement de la théorie; nous ne nous en rendrons pas encore bien compte en ce moment, mais nous le verrons plus tard dans l'élude plus complète de ces intégrales.

Soit m le degré de/(:c), nous allons montrer que ce degré peut

(*tre abaissé au degré ip — i . Supposons donc m supérieur à ce

nombre et posons

m — 'ip -\-\ (X î!oL

Je dis que de l'expression -y — =^ on peut retrancher la dérivée

de C^^y/R(j:), C étant choisi de telle sorte que le numérateur de la différence soit de degré m — i . On a en effet

G;f-[:rX/H(^)]=C —=1 ;

Ir degré du numérateur est ip 4- \ nous pouvons donc choisir C de telle sorte que, dans la différence

f{T) - G Vkx^-"^ R( j*) -h - i-^R'(^)l .

le coefficient de x"^ soit nul. Par une série de soustractions successives nous ramènerons donc notre intégrale à une partie toute intégrée et à une intégrale

mais où cette fois/i (j:) sera un polynôme au plus de degré a/? — i , car la réduction pourra se faire pour la dernière fois quand on aura ). t= o.

Nous obtenons donc 2/? intégrales de la forme

^— - (îA = 0, I, 2, ..., 2/? — I).

Ed général, ces intégrales sont des transcendantes nouvelles el distinctes les unes des autres, qui ne sont pas susceptibles de s'exprimer à l'aide des fonctions introduites dans les éléments. On doit étudier sur elles-mêmes leurs propriétés extrêmement intéressantes; mais nous ne pourrons qu'ultérieurement entreprendre celte étude. Montrons seulement qu'on peut les partager en deux espèces : les intégrales de la première espèce sont celles qui resteront finies quand x augmentera indéfiniment, les autres seront dites de seconde espèce. Nous pouvons ici appliquer le théorème

du § 16 (Chap. 1) : la fonction — est comparable pour j:* très

vR(^)

grand à

Si donc

l'intégrale sera de première espèce, ce qui revient à ^<ip — -j.

On aura donc p intégrales de première espèce, c'est-à-dire restant finies pour j; = 00, pour a = o, i, a, ...,/? — i; les autres intégrales seront de seconde espèce.

Rappelons d'ailleurs que toutes ces intégrales restent finies quand x tend vers une racine de R(x)=: o.