Passons maintenant aux intégrales du second type

/©(a?) dx ?1 L^^^..

Deux cas sont à distinguer^ suivant que a est ou non racine du polynôme R(^). Je me place d'abord dans le premier cas. Je vais, en supposant a>i, retrancher de l'intégrale une expression de la forme

de telle sorte que la diffërcnce soit une intégrale de la forme initiale mais où a sera remplacé par a — i . On a, C désignant une constante,

^d( mi-^ ( ,-.)R(.)^i(.-.)R.(.)

Dans la diflférence

le numérateur sera divisible par x — au l'on a

o(a)-f-C(a — i)R(a)rrro,

égalité qui détermine C, puisque R(^) n'est pas nul et que a est supposé plus grand que l'unité. Ainsi, par la soustraction précédente, nous sommes conduit à une intégrale de la forme

0\{t^ dx

'^x étant toujours un polynôme. Nous pourrons continuer ainsi cette réduction jusqu'à ce que nous arrivions à une intégrale de la forme (3) où on ait a = i . D'ailleurs, en divisant y (^) par x — e7, celle dernière intégrale se ramènera aux intégrales du paragraphe précédent et à Tunique intégrale

Si

dx

Dans le cas où R(<t) = o, les considérations précédentes ne s'appliquent plus; mais, avec une petite modification dans les raisonnements, nous allons pouvoir eflccluer la réduction aux seules intégrales du premier tjpe. Reprenons donc l'intégrale (3) en supposant que a soit racine de R(j7). Nous formons la différence

le second lerme peut s'écrire

iR'(:r)-aR,(:r)

en posant

Or a est racine simple de R(a:), donc R|(rt) =; R'(a) ^ «>, et par suite on peut déterminer C de manière que la diflférence (i) soit de la forme

Il sudGt pour cela que

Le coefficient de C est différent de zéro, même pour ol^^ i : on pourra donc effectuer de proche en proche la réduction jusqu'à faire disparaître toute puissance de ^ — a au dénominateur et finalement il ne restera, dans ce cas, que des intégrales du premier type.

En résumé, le second type se ramène au premier et à des intégrales de la forme

dx

{x — a))/l{(x) la constante a n'étant pas racine de R(x) -^ o.

7. Nous avons fait les réductions précédentes en supposant le polynôme R(^) de degré impair 2/?H-i; cette hypothèse n'avait aucun intérêt pour la réduction faite en dernier lieu, qui en est évidemment indépendante. Il n'en est pas de môme pour celle qui concerne les intégrales de la forme

9(r) dr

Les raisonnements peuvent néanmoins cire faits avec peu de modifications. Il suffira d'énoncer le résultat :

Si le polynôme R(j^) est de degré 2/?, toutes ces intégrales se ramèneront aux intégrales

où iJL devra prendre les valeurs o, 1 , 2, . . ., 2/? — 2 ; 11 y a donc, dans ce cas, 2p — i intégrales du premier type.

8. Donnons quelques exemples simples. Je supposerai d'abord le polynôme R.(x) du second degré. D'après ce qui précède (§ 7), toutes les intégrales de la forme

/f (x, )/\x^-\- Bjc -\- C) dx,

F désignant une fonction rationnelle de or et de ^Ax^-h Ba: 4- C, se ramèneront aux deux intégrales

/ dx r (lr

/Ax«-^Ba:-+-G ^ J {x — a)^Xx^-\- Br-hC'

a désignant une constante. Ces deux intégrales se trouvent immédiatement; elles se ramènent d'abord Tune à l'autre, car il suffit

de poser dans la seconde .r — a = — pour la ramener à la forme

de la première. Quant à celle-ci, deux cas seront à distinguer suivant le signe de A. Selon que A sera positif ou négatif, nous aurons, par un changement linéaire de variable, l'une ou l'autre

forme

/dx r dx

x^ qui sont respectivement, comme le montre la difTércntiation,

log(x -F v^j7*-+- a) et arcsin-.

Passons au cas où R(^) serait un polynôme du troisième degré; les intégrales du premier type sont alors au nombre de deux :

/dx r x dx ^

1^^) J )/R(xj'

l'intégrale est dite alors une intégrale elliptique.

iriTÉGRALES INDÉFINIES. 49

Le cas où R(x) est un polynôme du quatrième degré peut se ramener, d'après ce que nous avons dit d'une manière générale, au cas où le polynôme est du troisième degré. On a pris longtemps, comme polynôme normal, le polynôme du quatrième degré; on tend maintenant à faire la théorie des intégrales elliptiques et des fonctions qui s'en déduisent en prenant comme polynôme normal le polynôme du troisième degré. Indiquons cependant, relativement aux polynômes du quatrième degré, une transformation qui a joué un rôle très important : elle consiste en ce qu'on peut supposer seulement des ternies de degré pair dans le polynôme. Employons en effet la transformation

p désignant une constante, ce qui revient à faire la substitution a r=z p On a alors

Nous allons déterminer p de façon que la somme de deux racines du polynôme transformé en y soit égale à la somme des deux autres. Si nous désignons par a^ 6, r, d les quatre racines de R(a;), les racines de Ri(j^) seront

/? — a jj — p — c p — d Écrivons, par exemple,

équation qui est du second degré en p. Si Ton prend pour/? une de ses racines, le polynôme R| (^) sera de la forme

Rx(y) = A'(^*-h ly -+- fx) (y^ -h ly -f- p.'),

le coefficient de y étant le même dans les deux facteurs. Il suffira alors de poser jk H- - = s pour avoir le polynôme bicarré

mi

On peut donc supposer que le polynôme R(wc) est bicarré,

soit

R{x) — aox^-i- ai 07*-+- aj.

Les intégrales de la première catégorie sont alors

/dx r rdx r X* dx

/aox^-f- aiJ7*-r- ax J ^a^^x^-^- a^x^-^ a^ J /aoX*-T- a|jr*-+- a*

La seconde de ces intégrales se ramène aux fonctions élémentaires : il suffit en effet de poser x^z=y pour la ramener à Finlégrale

^aoy^-^axy-r-at