III. — Intégrales de différentielles algébriques
9. Le cas général d'une intégrale de différentielle algébrique ■est une intégrale de la forme -
/ ^{t, y)dx.
V étant une fonction rationnelle de x Qly] y est liée à x par la
relation
étant un polynôme irréductible en x el y, c'est-à-dire que la courbe algébrique représentée par celte équation est indécomposable. Nous allons faire sur l'intégrale précédente quelques réductions d'une nature purement algébrique; ce ne sera qu'après avoir étudié plus lard les principes de la théorie des fonctions que nous pourrons pénétrer plus avant dans la ihéorie de ces intégrales, appelées intégrales abéliennes, du nom du géomètre norvégien Abel qui a fait connaître à leur sujet un théorémtî d'une extrême Importance.
Je supposerai la courbe f =^ o de degré m\ de plus l'ensemble des termes homogènes de degré m dans/(»r, y) se compose de m facteurs linéaires distincts et aucun d'eux ne se réduit à x ou à y. En langage géométrique, ceci revient à dire que les m directions asymptoliques de la courbe y sont distinctes et ne sont pas parallèles aux axes. Cette supposition est toujours permise, car on peut
commencer par faire sur la courbe une transformation homograpfaique ou une perspective qui la réalisera.
Ceci dit, j'écrirai l'intégrale sous la forme
ce qui revient à poser
'i(j7, j^) sera une fraction rationnelle de x et^, soit
^{^yy) =
N(ar, 7J
M et N étant des polynômes en x et y. Montrons d'abord qu'on
peut remplacer la fraction rationnelle ^ par une autre dont le
dénominateur ne renferme que la variable x. Nous nous appuierons pour cela sur le théorème d'Algèbre suivant :
Etant donnés deux polynômes premiers entre eux, /{x,y)
et N(x,y), on peut trouver deux polynômes en x et en y^ A et
B, tels que
A/-4-BN = X,
X étant un polynôme en x.
Ce théorème se démontre comme la proposition analo}4:ue rolalivp à deux polynômes ne renfermant qu'une seule variabir. Soient
f = (tay"' ^- <Uy"' '-4-. ..-f-a,„,
les deux polynômes ordonnés par rapport d y : les d vX b sont des polynômes en x, Prenons le résultant X de ces deux polynômes en y. On peut In nictlrc sous la forme d'un déterminant bien connu d'ordre m -f- n
ai
flo
bn
Si Ton multiplie les éléments de la première colonne verticale par^/n+zi-i^ ceux de la seconde par ^w+^-a et ainsi de suite, et qu'après les avoir ainsi multipliés on les ajoute à la dernière, celle-ci se trouvera remplacée par
En développant le déterminant, on a Tidentité
X = A/-hB\,
A et B étant des polynômes en j: el^'; ^ ^^ dépend que de x.
On aura donc
, M BM BM •;
'^ ~ N " BN ■" X '
puisque y est définie par la relation /{jf^y) = o. La fraction ^ a alors pour dénominateur X qui ne dépend que de x^ et nous pouvons écrire l'intégrale (5) sous la forme
?{x.y)dx
r?{x.y)dj
Nous obtenons ainsi, en décomposant la fraction ^ en éléments simples, des intégrales dos deux types
r P(x,y)dx r QiT,y)dx
P et Q étant des polynômes en x et y, et ces deux formes rappellent celles que nous avons trouvées pour les intégrales hypcrellîptiques.
10. Nous allons montrer que dans les intégrales du premier type
P(x^ y) dx
J fy
on peut ramener le degré du polynôme P, qui est arbitraire, à être au plus de degré im — /{•
Soit p le degré du polynôme P et supposons
LNTÊGRALES INDÉFINIES. 53
Retranchons de l'intégrale (6) un polynôme homogène en x et y de degré p — m -h 2 : soit ^{Xjy), Ce polynôme X peut évidemment s'écrire, en tenant compte de la relation /(^,^) := o,
Mx,y)=f ^'-'^^-^ '^dx.
Pouvons-nous choisir X de telle sorte que la différence
soit un polynôme de degré p — i ?
Désignons par P|(x,j^) l'ensemble des termes homogènes de degré/? dans P{x,y)y et 'f{^,y) l'ensemble des termes homogènes de degré m dans /(x^ y); l'expression (7) se réduira à un polynôme de degré/? — 1 , si
(8) ^x(^,y)-a'x9y-yy^'x)
eil divisible par o(x,y) : car alors, l>-{^,y) étant le quotient, il suffira de retrancher de (7) le produit Y-i^ ^ y) f i^ ^ y) pour avoir un polynôme de degré p — 1. Cette soustraction ne change d'ailleurs rien à l'expression (7), puisque f[x,y)=zo. Remplaçons Xj^ par sa valeur
tirée du théorème d'Euler relatif aux fonctions homogènes : l'expression (8) deviendra
^^t(^^y) — {p — m-¥- 7.)\( T, y) f^'y -\- mVy^
Elle sera divisible par ^{^x^y) si le numérateur est divisible par y qui, par hypothèse, ne contient pas x en facteur. Nous avons donc à choisir X de telle sorte que
^Pi(^» J') — (/> - ni -f- 2)X(x,j^)tp;.
soit divisible par f (^,^)5 ce qui sera possible si le degré de a(x, j^) est supérieur ou égal à m — 1 , c'est-à-dire si
l> — m-ha^m — i ou p^im — 3.
Le degré de V^x^y) se trouvera donc ainsi abaissé d'une unité,
♦îl l'on pourra continuer jusqu'à ce que ce degré atteigne nm — 4' Donc, en résumé, dans les intégrales du premier type
V{T,y)dr fy
Ir polynôme P(x,^') peut être abaissé au degré im — 4-
H. Avant de passer aux intégrales du second type, il nous faut faire quelques remarques préliminaires.
Soit or = c/ une droite rencontrant la cowvhc f{x,y) en m points distincts dont nous désignerons les coordonnées par j^i, y 2^ '"fymj et admettons d'autre pari qu'un polynôme 4>(j:,^) en j: cl y s'annule en ces m points : je dis que le quotient
en supposant x et ^ liées par la relation /(x^y)=^ o, peut se mettre sous la forme d'un polynôme en x ely.
En effet, ^{x^y) peut être ordonnée suivant les puissances de X — a, et l'ensemble dés termes ne dépendant pas de x sera un polynôme en y, 'f (j^); nous devons montrer que
j)ent se mettre sous la forme d'un polynôme en x et^. Or ^{y) s'annule pour^^,, r^? "-tym* D'autre part, en ordonnant le polynôme fi^yy) suivant les puissances de x — a, l'équation /=o se met sous la forme
(y-'yi)"-(y'-ym)-^(:r — a)pi{y)'^{x — aypt{y)-^... = iK les/? désignant des polynômes en^'; donc
se mettront sous la forme d'un polynôme en x et y.
En second lieu, supposons que la droite x ti= a soit tangente à la courbe/, en un point simple, deux points de rencontre seulement étant confondus au point de contact, et les (m — 2) autres
INTÉGRALES lïfDÉFINIBS. 55
points de rencontre étant distincts. Je suppose le polynôme 4> (x^y) tel que la courbe
soit rencontrée par la droite j: = a en deux points confondus au même point que/, et passe par les (m — 2) autres points de rencontre.
Je dis encore que
^(Xjy)
en supposant x eiy liées par la relation /(:r, y) =r= o, peut se mettre sous la forme d'un polynôme en x et en y. La démonstration sera analogue; l'expression se réduit à la forme (9). Or, en désignant par^', l'ordonnée correspondant à la racine double et par j'2, . . . , J'iH-i les ordonnées des (m — 9.) autres points de rencontre, ©(>') contiendra en facteur
(y —yi^iy —yt)' "iy —ym- 1);
d'autre part, Téquation f= o pourra se mettre sous la forme,
(y—yi)^yy—yt)'-(y-'ym-x)-^qi(y)(^ — a)-^qtiy){r—a)^-^'"=Oy
les ç étant des polynômes, et la démonstration s'achève comme plus haut.
