Revenons maintenant aux intégrales du second type

rQ(x.y)dar

Nous allons démontrer que :

On peut ramener, de proche en proche, celte intégrale à une intégrale analogue, mais dans laquelle le degré de x — a est égal à r unité.

En d'autres termes, on peut toujours abaisser d'une unité le degré a>. I de ^ — a.

Je suppose d'abord que la droite x =^ a rencontre la courbe f{x^y) ^rr-.o en m points distincts.

Employons le même genre de considérations : nous retranche-

rons (le l'intégrale (i o), en tenant compte de rcquatîon/(jr, j) = o, une expression de la forme

X(;r,j^) étant un polynôme que nous choisirons de telle sorte que cette différence soit une intégrale analogue à (lo), mais a étant remplacé par a — i . Pour cela, il suffit que

( J" — a )« puisse se mettre sous la forme — ^^^ — ^J , y c'est-à-dire que

se réduise à un polynôme. Or ceci aura lieu si le numérateur s'annule pour les m points de rencontre de ;r = a avec la courbe (§H). On satisfait à cette condition en prenant pour X un polynôme, en y seul, de degré m — i, qui se trouvera ainsi complètement déterminé, puisque y^^ est différent de zéro.

Le théorème est donc démontré, et, en continuant de proche en proche, on est ramené uniquement à l'intégrale qui correspond à a = I.

13. La réduction est moins immédiate si la droite x=^ a est tangente à la courbe/, dans les conditions du§ H. Plaçons-nous dans cette hypothèse. Nous allons retrancher de l'intégrale (lo) une expression de la forme

Pour effectuer la même réduction que précédemment, X(*r, j^) devra être tel que l'expression

q(x,y)(x-a)-^al(x,y)/;.^(x-a){r^/^~-ryf;)

I\'TÉGRALE<; INDÉFINIES. 67

soil de la forme

Qi(^,j)

Il faudra d'abord que -^ — ^ZAJ puisse se mettre sous la forme d'un polynôme. Il suffit pour cela que X(:r,j^') s'annule pour

puisque déjà/^ s'annule pour («,^1). Le polynôme \{x^y)fy^ pour j: = a, deviendra alor > un polynôme en y ayant la racine double j^i et les racines simples^a, . . . , ym~\ et, par suite, d'après le lemme

pourra se mettre sous la forme d'un polynôme. Nous pourrons prendre pour \ le polynôme en y