V-{y) ^^^^^ un polynôme en j

Il faut ensuite que

se mette encore sous la forme d'un polynôme. Nous allons une nouvelle fois appliquer le lemme (§ 11). Le numérateur peut s'écrire

Q(x,^) + a (>--■>-■ )0'-.>-»)---(.r-rm-)/; ^(^.^

('«)•{ '^{y-yx)'"^y-y.n-i)v^{y)fx

•f diy'-yi)"'(y—ymi)

dy

Celte expression doit d'abord s'annuler pour {a^y\ ), (a, ^'2 ), ... {P"iym~\)'* cette condition nous fait connaître les valeurs de

Ces quantités seront parfaitement déterminées. En effet, cher-

clions le coefficient de |a(^i), correspondant au point de contact : ce sera

jrz- a

Or, dans le cas actuel, on a (§ H)

Celle relation permet de calculer immédiatement l'expression (12) : elle se réduit à

or qt (y^) n'est pas nul si le point («,^< ) est, comme nous le supposons, un point simple de la courbe f. Donc le coefficient de [jl()'<) est différent de zéro.

Les autres coefficients se calculent d'une manière analogue : celui (le )^{y2) p«^r exemple est

et dans cette expression q\{y2) n'est pas nul si au point {a^y^) la tangente à la courbe f n est pas parallèle à V axe des x^ comme nous pouvons le supposer; nous avons d'ailleurs a> 1.

Il nous faut encore écrire que, dans l'expression (11) mise sous forme de polynôme et ordonnée suivant les puissances croissantes de j" — a ei y — j'<, il n'y a pas de terme du premier degré en y — y\. Cette condition détermine, sans impossibilité aucune, la valeur de ^ {y\ ). On trouve en efiet que la partie du coefficient de r — y\ qui dépend de ^' {y\) se réduit à

]^\y\) sera donc déterminée par la condition indiquée. Ainsi Y-iy) ^^^^ ^^^^ ""^ polynôme tel que

I^O'i)» f^O'j)» •.•» \^(ym-\), et en outre fi'(ri)

aient des valeurs données. Il existe une infinité de tels polynômes. Soit, par exemple, ^{y) un polynôme d'un degré au moins égal à m — 2 ayant pour j' ^-: [y^ , . . . ? ym^\) les valeurs données, il en

sera de même du polynôme

i^(y) = ?(r) -^ G(^ — ri )• • '(y —ym-\ ),

dans lequel on déterminera la constante C par la condition que

ait une valeur donnée.

Le théorème énoncé (§ 12) est donc encore démontré dans le cas où la droite j* = a est tangente à la courbe / en un point simple.

14. D'autres circonstances pourront se présenter. La courbe peut avoir des points singuliers. Supposons qu'elle ait seulement des points doubles à tangentes distinctes, et que la parallèle à l'axe des j^ menée par un point double ne soit tangente en ce point à aucune des deux branches de courbes qui y passent. Dans ce cas les réductions faites plus haut ne peuvent plus être employées.

Montrons bien nettement le point où les raisonnements cesseront d'être applicables. D'abord la conclusion du § 11 est toujours correcte, c'est-à-dire que le quotient

peut toujours se mettre sons la forme d'un polynôme en x et y^ même quand la droite x -= a passe par un point double de la courbey(;r, ^ ) r= o, pourvu que la courbe

soit rencontrée par la droite a: = « en deux points confondus au point double et qu'elle passe par les (m — a) autres points de rencontre de cette droite et de la courbe y.

Il en va autrement pour les conclusions du § 13 ; pour le voir, il suffit de se reporter à l'expression (i3). Nous avons dit que la quantité désignée par q\{y\) n'était pas nulle; elle sera nulle au contraire si le point {a, y s) représente le point double : nous poserons dans ce cas

q\(y)=={y—yi)''{y)'

6o INTÉGRALES SIXPLES ET MULTIPLES.

Démontrons maintenant un nouveau lemme dont nous allons avoir à faire usage :

Si la droite x^=a passe par un point double à tangentes distinctes («,jKi) de la couvhe f{xjy)^- o^ dans les conditions énoncées précédemment, je dis que le quotient

en supposant toujours x e\. y liés par la relation /(x^ y) = Oy pourra se mettre sous la forme d'un polynôme en x ely, si, en chacun des points de rencontre de la droite x = a avec la courbe, ce quotient garde une valeur finie, et si de plus les deux valeurs correspondant aux deux branches de courbe passant par le point double {a^yC) sont égales.

Dans le cas actuel f{x^ y) peut être mis sous la forme

Développons ^( x, y) suivant les puissances de x — «,

*(^»7) = ?(r)-+-(^ — «)?l(^)^-(^-«)'?î(r)-^•••• On aura

Pour que cette expression garde une valeur finie en chacun des points de rencontre, il faut que

?(^a) = o (A = I, a, ..., m — I) et que

r-Yk

mais pour k ^= i^ l-~-\ a deux valeurs distinctes, donc

y=yx

?'(^i)=o et <p,(^,) = o.

INTÉGRALES INDÉFINIES. 6l

Par suite, o(y) et çi (y) seront des expressions de la forme

?i(7) = (7-ri)ï^(r)-

En d'autres termes, la courbe ^(x^ y) = o aura pour point double le point (a, Xi) et elle sera tangente à la courbey(:r, j')= o aux points («, ^2). • '{(^i ym-i)- Cette dernière condition donne lieu aux relations

^iyt)=P(rt)riyth

hcnvons d autre part que le quotient ^^ ^^ n aqu une valeur

t ôv "■■■ Cv I

au point double (^î^i)* Désignons par [jl et [jl' les deux valeurs pposées différentes du rapport (-t-) > ou de ---•^*5 sur la

courbe /*= o au point («, j'<); on devra avoir

= P(7i)!^'H7i-rO--.(^'i-r/«-i)-Hî^'I^(ri)»

d'où Ton conclut

^{yi)(yi—yi)- • •( 71— 7,n-i)({A-h [i')-h R(7i) = o;

on aura, d'ailleurs

SU

et la condition trouvée se réduira à

Ceci posé, revenons au quotient 7-J-^i> qui, à un polynôme près, est égal à

OU, en tenant compte de Téquation de la courbe, à

-^(y)(y-'yt)r(y)-^(y-yt)B.(y)

D'après les équations (i4) et (i5), ce quotient se réduira à un polynôme, puisque le numérateur admet la racine double^! et les racines simples j^j, . . ., ym^K- Notre Icmme est donc démontré.