Jlcprenons l'intégrale

en supposant que la droite .r = a passe, comme au paragraphe

précédent, par un point double de la courbe. Nous allons ici

faire la réduction en retranchant de celte intégrale une expression

de la l'orme

On va montrer qu'on peut choisir le polynôme a(^, j') de lelle sorte que la différence soit une intégrale de même forme queTinlégralc initiale, mais où a sera remplacé par a — i . Il faudra pour cela que le quotient

puisse se mettre sous la forme d'un polynôme en ./• et j'.

Tout d'abord le quotient — - — '-- devra se réduire ù un polynôme. Cette condition sera remplie si nous prenons

X(^, ^>')=(>- -7i)?00f^(7)-i-(-''--«)v(j)-t-(.r-rt)«7:(j),

rn désignant par 'f (^) le produit {y — ^'2)- • \y — ym. <), les polynômes [a(^"), v(y) et rs.(^y) étant, pour le moment, arbitraires.

Calculons le quotient ^ — — -\ ce sera

ji. a ^-"(yVy -^ (-^ - «; -^7)/r-

INTÉGRALES IMDÉFLMES. 63

Écrivons de nouveau la valeur àef{x^ y)

/(^î y) = {y —y\)^^iy) -V (x — a){y -yx)r(y) -^{x — ayq{y)-T-ix — ays{y)^.,,.

On trouve, en ordonnant suivant les puissances de x — a et en ne gardant que les termes qui seront au plus du second degré

— r'{y)f:({y)[i.iy)\ -^{x — a)\ — i^(,y) ^{y)q{y) -^-^iy) r{y)

-^(y—j'i)['^?(y)^^(y')-?'(y)i^(.y)^/iy) -^ ^iy ) '''{y)-^ q' i y) "^i y) 'Ay)\ ^<y-yiy^'(y)-{y)\

-^(x-ay[—is(y)r:^{y)^L{y)-^T.{y)r{y)-\-^i{y)q'{y)'\, On aura d^autre part , dans les mêmes conditions,

^ {^x ^ a)[r{y) ^ (y - y^) r'{yj\^(x ^ a)^q'i y)^^

'^V*(y)-^'^{x — <i}'^'iy)\

- [(7 ~yï)''{y) -^ 2(x - a)q(y) -h 3(x - a^siy)]

X [(y —yi)?(y) i^(y^-^ i'(y) 'My) -^(y—yi)'^(y)'/(y)-r-('r — ary(y)l

Les calculs étant ainsi préparés, nous devons chercher à choisir les trois polynômes [a(^), v(j^) et ^.{y) de telle sorte que

ijr-a)q(x,y)^U-,) • ^'^;/' -(Kfy-Kf:r>

soit un polynôme en x el v.

Appliquons le lemme du paragraphe |)récédent.Tout d'ahord, en développant le numérateur suivant les puissances de x — a et y — ytf nous ne devons pas avoir de ternie du premier degré, ce

qui donne immédiatement

^(rt) r{yi) ii{j^t) — i^(yi)y{ri) = o,

équations qui déterminent les valeurs de [jl(j^,) et v(j'i)', pourque les équations fussent incompatibles, il faudrait que

condition qui n'est pas remplie, car elle exprime que les tangentes au point double sont confondues.

Nous devons ensuite former le polynôme homogène du second degré eux — a ely — j'< , qui donne au numérateur Tensemble des termes de moindre degré. En l'égalant à zéro, on forme ainsi une

équation en*^-^— > dans laquelle la somme des racines aura une

valeur donnée. Or, dans cette équation, le seul terme dépendant de

Tz{y) se réduit à

qui se trouve dans le coefficient du produit {x — a) (j' — yt). La valeur de iî(yi) sera donc elle aussi déterminée si nous nous donnons, arbitrairement d'ailleurs, |Ji.'(j'i ) et v'(^'i).

Nous avons maintenant à écrire les équations relatives aux autres points de rencontre de x =i a avec/= o ; il suffira de considérer l'un d'eux : soil (a, j'j). Nous devons écrire que la courbe obtenue en égalant à zéro le numérateur de (i6) passe en (o^y^) et est tangente en ce point à la courbe /. On devra donc avoir d'abord

et, en écrivant ensuite la condition de contact, on voit que le seul terme contenant le polynôme Tz{y) figure dans le coefficient de (x — a) et se réduit à

On se donnera donc pour v(j'2) et \>'{y2) deux valeurs satisfaisant à la condition écrite plus haut, et on se donnera tout à fait arbitrairement y'iy^) et [jl'( y2) qui figureront dans l'expression du coefficient angulaire. La valeur de T^{y2) sera alors complètement déterminée.

En résumé, on volt que les polynômes [t-iy) et v(j') se trouvent déterminés par leurs valeurs et celle de leurs dérivées pourj'==^'j, y2t • • • »>'m-i) et le polynôme ^^{y) est déterminé par ses valeurs pour ces mêmes quantités. La réduction cherchée peut évidemment être effectuée d'une infinité de manières.

16. La réduction est donc faite dans tous les cas pour les intégrales du second type

Q(-r.r)dT

en supposant toutefois que la courbe ait seulement des points doubles à tangentes distinctes. Une telle intégrale peut toujours, par la soustraction d'une fraction rationnelle convenable en x et j',

être ramenée à l'intégrale

R désignant encore un polynôme.

On peut d'ailleurs supposer que le polynôme R(:r, y) ne renferme y qu'au degré m — i au plus, si l'on se sert de l'équation f{x^y) = o pour faire disparaître les puissances de y supérieures à m — I. Ordonnant alors R(:r, jk) ainsi réduit par rapport aux puissances de x — a, on voit que cette intégrale se ramène en définitive à une intégrale du premier type et à la suivante

r ^[y]dr^

où R(j^') est un polynôme en >- seul, de degré m — i au plus.

rv. — Intégrales des fonctions rationnelles de sinx et cosj-.

17. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des intégrales de différentielles algébriques; on rencontrera souvent, dans les applications, des intégrales de la forme

/(sino:, cosa:) dx^

/étant une fonction rationnelle de sinx et cosj:. Ces intégrales se P.- I. r>

ramènent immédiatement à des intégrales de fonctions ration nelles : si l'on pose en effet

on a, comme on sait,

iy i —y^

sino? = - —^y cosar — — ~ ;

d'autre part, de la relation entre x ely, qui peut s'écrire

X — 2 arc tang^,

dx-."'^.

on lire Après ces substitutions, notre intégrale prendra donc la forme

J^{y)dy,

F étant une fraction rationnelle à^ y.

On peut ramener d'une autre manière l'intégration à celle d'une fraction rationnelle : en posant

on a, d'après les formules d'Euler,