Z^ — I 5*-HI

smx = — ; — > cosa: = ;

iiz iz ^

on aura de plus

dx = —.:

Zl

nous aurons donc encore, après les substitutions, à intégrer une fraction rationnelle.

Comme exemple de la première méthode d'intégration, calculons l'arc de la parabole. Soiiy^=!ipx Téquation de la courbe rapportée à son axe et à la tangente au sommet. Exprimons les coordonnées x ely d'un point arbitraire de la courbe à l'aide de l'angle a que fait la tangente en ce point de la courbe avec l'axe des X. On a

'2taQg<a' •^"tanga'

et l'on trouve de suite

*^ sin«a

Nous allons compter Tare à partir du sommet : ds et da. seront de signe contraire. Nous aurons donc

~ .L sin»

Pour calculer cette intégrale, posons

langî=7;

il vient alors

dont rintégration est immédiate

et, en remplaçant j' par tang-?

p I cosa , a\

= - ( -:-; loglang- )

2 \sin*a ° °2/

18. On peut modifier la seconde méthode d'intégration de façon à présenter cette théorie sous la forme la plus élégante. C'est ce que fait M. Hermite dans son Cours d^ Analyse, et ce que nous allons indiquer rapidement d'après lui.

Reprenons l'intégrale

/ /(sin jr, cosjr) dx.

En remplaçant sino: et coso: par leur valeur en fonction de

z = e^', on a

/(sinic, cosx) = P( 5),

P étant une fonction rationnelle de z. Nous allons chercher à mettre P(>3), considérée comme fonction de x, sous la forme la

plus favorable pour rintégration. En décomposant P{s) en fraclions simples, nous avons

7:(w) étant un polvnome; on voit que le second terme provient delà racine ;; = o qui pourrait se trouver au dénominateur de P(;;), et que nous mettons ainsi en évidence. Les autres racines a sont différentes de zéro. Posant alors

nous avons d'abord

— I — { col I >

conséquence immédiate de la relation qui donne cot^ en fonction de e^L Les termes