CI

se présentent maintenant sous la forme d'un polynôme en col — -

iT — 3t

Celle forme est peu favorable à Tinlégralion ; mais nous pouvons exprimer les différentes puissances de col — ; — en fonctions li-

néaires de col' — — et de ses dérivées. On a en effet, pour la seconde puissance.

d COt T

col' J™ — — 1 -. — •

Supposons d'une manière générale que l'on ait jusqu'au rang /i

d^ COt T

COt

k — fi

les C étant des constantes; il en sera de même pour col""*"* a:. Dérivons en effet les deux membres de Tidentité précédente : on aura

d^-^i colr

2/**"*"' col 5"

INTÉGRALES 1!«IDÉFIN1ES. 69

or, col""*^ s'exprimant comme il a été dît, la même propriété subsistera, d'après cette relation, pour cof*"*"* j:. Nous avons donc, après ces réductions,

k = n-\ d^cOi

/^nii'i

z — a (-5 — a)* (z — a)« Jmà dx^

Si Ton multiplie cette expression par dx, et qu'on veuille intégrer, l'intégration sera immédiate, car la seule quadrature à effectuer sera

cot^- dxj

ar — a

qui est égale à 2 log sin — ;

Pour toutes les racines a différentes de zéro, on fera un calcul analogue. Il reste donc seulement à considérer les termes

mais, en remplaçant ;; par cosor-h isinx, cette expression prend la forme

^^{ancosnx-r- PrtSin/i:r),

dont l'intégration est immédiate.

Ces généralités nous suffiront; je renverrai, pour les applications, au Cours d'Analyse de M. Hermitc, où le lecteur trouvera les développements les plus intéressants sur cette méthode de réduction.