I. — Définition des intégrales curvilignes

1. C'est la notion de la somme simple d'éléments de la forme f{xi)dxi qui a joué jusqu'ici le rôle essentiel; nous allons chercher à la généraliser. Commençons par une extension qui, tout en . n'impliquantaucuneidée nouvelle, nous sera très utile dans la suite.

Considérons une fonction P(iP,^) des deux variables x el y t\ prenons dans le plan (Ox, Oy) deux points a et ^ de coordonnées (a, A) et (i, B) : on les joint par une courbe C {fig- 2).

Fig. 2.

Divisons l'arc a,3 en un certain nombre d'intervalles par les points de subdivision a,, a2, . . . , a^.i dont les coordonnées seront (^ijJ'OC-^ajJ'a)- • •('^«-uJ^/i-O» ïi^^"^ formons la somme

P(a,A)(a:i — a)-f-P(a:i,^,)(a:j— ;ri)H-...-hP(jr„t,^«-i)(ô — ar„-,), tout à fait analogue, comme on voit, à celle qui nous a conduit

à l'intégrale définie, avec la seule différence que la fonction P ne dépend pas seulement de x^ mais aussi de j^.

Quand tous les inlervalies (a/, olî^^) tendent vers zéro, leur nombre augmente indéfiniment, celte somme tend vers une limite. Pour s'en rendre compte, on pourrait répéter les raisonnements faits au début; il est plus rapide de ramener cette somme aux 5omme5 jusqu'ici considérées. Prenons le cas le plus simple où la

courbe ap est telle qu'à chaque valeur de x correspond une seule

valeur àey. Soily ^=^{x) l'équation de cette courbe a, P; nous supposons la fonction <f{x) continue de a à b. En posant P[;r, cf (x)] = F(a;), la somme précédente n'est autre chose que

F(a)(jri — a)-hF(Ti)(j^,— r,)-^...-hF(irn-i)(6 — a:n-,); elle a, par conséquent, pour limite l'intégrale définie

Cette intégrale se représente par le symbole

/ V{x,y)dx\

on dit que c'est une intégrale curviligne prise le long de la courbe C depuis a jusqu'à p. Pour que celte intégrale ait un sens, il ne suffit pas de donner les points extrêmes a et ^, il faut en outre indiquer le chemin suivi pour aller de a à ^.

n peut arriver que la courbe joignant a à P soit rencontrée en

Fig. 3.

plus d'un point par une parallèle à l'axe des y. Nous partagerons alors l'arc de courbe en un certain nombre de parties

|)our lesquelles à chaque valeur de x ne correspondra qu*une valeur de^v. Les extrémités de ces arcs seront les points où la tangente à la courbe est parallèle à Oy, Prenons, par exemple, la fis- 3. 11 y aura sur l'arc (a^) un point y où la tangente est parallèle à O^. L'intégrale de a à y se calculera comme plus haut cl pareillement celle de y à P; mais, dans le second cas, la fonction v=?p(.r) à substituer dans P ne sera pas la même que dans le premier.

î2. On définira de même l'intégrale curviligne

prise le long d'un arc C et dans la(|uelle la variable de sommation est J^ Elle est la limite de la somme des éléments

et les mêmes considérations serviront à la ramènera une intégrale définie.

On peut indiquer pour l'intégrale curviligne une méthode de calcul plus générale dont nous ferons fréquemment usage.

Soient

les coordonnées d'un point quelcon(|ue de la courbe exprimées en fonction d'un paramétre /. (^es deux fonctions seront supposées des fonctions continues de /; quand t variera de Iq à tt le point {^^jy) décrira l'arc de courbe C. Admettons en outre que les fonctions /{t) et '^(/) aient des dérivées /'(/) et ^\t) et que ces dérivées soient des fonctions continues de /, sauf peut-être en un nombre limité de valeurs de t, pour lesquellesy'(/) et o'{t) pourront passer brus((uement d'une valeur finie à une autre valeur finie. Dans ces conditions, si l'on se reporte à ce que nous avons vu relativement au changement de variable dans les intégrales définies (§11, Chap. I), et aux discontinuités possibles (§ 7, Chîip. I) dans les fonctions que l'on intègre, il est clair que l'intégrale curviligne

VdXy

INTÉGRALES GURYILIGXES. 78

prise le long de la courbe C, s'exprimera, en prenant / comme variable de sommation, par l'intégrale définie ordinaire

En admettant comme possibles les discontinuités indiquées de

f'{t) et ^'(^), nous pouvons avoir des courbes présentant des

points anguleux où la tangente change brusquement de direction ;

c'est pour avoir plus de généralité dans les courbes employées que

nous avons fait cette hypothèse.

Les intégrales curvilignes les plus importantes et dont nous aurons le plus souvent à nous occuper se présentent sous la forme de la somme des deux intégrales précédentes

/ ^H3P,y)dx-\-Çl{x,y)dy,

Si Ton emploie comme précédemment le paramètre /, celte intégrale pourra s'écrire