II. — Condition pour que l'intégrale curviligne j Peùr-^-Qdy
ne dépende que de ses limites.
3. Nous allons nous proposer une question d'une grande importance pour l'Analyse et pour la Physique mathématique. Je suppose que nous ayons dans le plan une région limitée par un seul contour, el que, dans cette région, les fonctions V(x,y) etQ(a:,^) soient continues ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre. Il est entendu que le point (x, y) ainsi que les courbes que nous aurons à tracer ne sortiront pas de la région envisagée. Posons-nous le problème suivant :
Quelle condition devront remplir les fonctions P et Qpour que l'intégrale f P dx -h Q dy prise le long d'une courbe quelconque tracée entre deux points arbitraires A et A' ne dé-
pende pas du chemin suivi, mais seulement des coordonnées de ces deux points.
Pour trouver celle condllion, nous allons avoir recours à une mélhode d'une extrême généralité en Mathématiques et qu'on a appelée la méthode des variations. Ce ne serait pas le lieu de l'exposer ici en détail. Bornons-nous aux remarques suivantes dont nous aurons à faire usage.
So\l y = f{x) l'équation d'un arc de courbe joignant le point A de coordonnées (a, b) au point A' de coordonnées (</, 6'). On peut considérer la courbe précédente comme faisant partie d'une famille de courbes dépendant d'un paramètre arbitraire a et passant toutes par les points A et A', la courbe donnée correspondant à la valeur ao de ce paramètre. Telle est, par exemple, la famille de courbes
(0 j^=/(a7)-f-(a-~ao)(:r — a)(:r — a')q>(j:, a),
o[x^ cl) étant une fonction continue quelconque de x et de a. Ceci posé, formons l'intégrale curviligne de A en A' sur une quelconque de ces courbes; cette intégrale sera, en général, une fonction de a, puisqu'elle variera avec la courbe. Si nous supposons, comme dans le problème proposé, que l'intégrale ne dépende pas du chemin, celte fonction de a devra se réduire à une constante.
Nous allons avoir, dans la suite, à prendre des différentielles par rapport à x et par rapport à a : les premières seront représentées par la lettre c/, et les secondes par S. La différentielle par rapport à a d'une fonction S(^, a) est souvent appelée la variation de cette fonction. Il est clair que l'on aura rf2S = SrfS, puisque l'on peut intervertir l'ordre de la différentiation, les deux variables j: et a étant indépendantes; l'égalité précédente exprime simplemenl
l identité -^ — r = i—^- • ax OoL 07. ox
Revenons à l'intégrale
1= f Vdx-i-q dy,
prise en faisant varier x de a en a\ y étant définie par l'équation (1), et calculons sa différentielle par rapporta a, c'est-à-dire sa variation SI. Sous le signe d'intégration P, Q et dy sont des fonc-
IMÉGRALES CURVILIGNES. y 5
lions de a, puisque y est fonction de x et a. Appliquons la règle de la difTérentiation sous le signe somme : ce qui nous donne
Oj
ol = r oP dx ~ oQ dy -f- Q dy.
ôP = — oy, oQ = — ^ oy
et, comme nous Favons dit,
dy = doy:
nous pouvons donc écrire
Intégrons par parties cette dernière intégrale; nous aurons
f Qrf87 = (QS^);r-r (grfx4-grfr)57.
Or oy est nul pour x =a et pour j: = a', puisque toutes les courbes de la famille (i) passent en A et en A'. ïl reste donc pour
SI, en remarquant que les termes en — disparaissent d'eux-mêmes,
et cette quantité doit être nulle puisque I ne doit pas dépendre de a.
Supposons que, dans l'équation (i), o ne dépende que dejc. On
aura
Sy = (a? — a) {x — a') ^(^x) oa.
Donc la variation de ol est, dans ce cas, donnée par la formule
On intègre le long d'une courbe C de la famille (i); sur cette courbe -t p doit être nul identiquement : car, s'il en était au-
trement, cette différence aurait sur la courbe tantôt un signe, tantôt un autre. Or ^(^) est une fonction continue arbitraire qui pourrait être prise de telle sorte que le produit
fût d'un signe invariable, et par conséquent ol ne serait pas nulle. Nous aurons donc identiquement
i)y ôx
sur toute courbe joignant A à A', et par suite pour toute valeur de
4. Nous avons supposé, dans le calcul qui précède, que la courbe était donnée par une équation de la forme y = ^{x). Il est utile de calculer la variation de l'intégrale en supposant que x ely soient des fonctions de /, f{t) et ç(^), définissant une courbe passant en A et en A', de telle sorte que, pour t = /q» on ait x = a^ y = b et que, pour t =z t^^ on ait jc = a', y =z b'.
Prenons, en suivant la même idée que plus haut, une famille de
courbes
•^=-/(0^-(3^-ao)(^- ti){t-to)^(t,a\
'intégrale
P dx-¥-
Qdy
aura
pour variation
ol
oP dx -h^qdjr-\-
Pod
or ICI
.p ^P . ^ ()P , ,^ dP ^ dq^
Ox «t^ dx ày "^
On intègre par parties, comme précédemment, les deux derniers termes, ce qui donne
r 'padlr = r 'Prf8a? = - Ç ' dPlx, Ju ^t^ •/'•
et une intégrale de même forme pour le dernier terme. Il vient donc finalement, en remplaçant rfP par
dV , âV ,
On retrouve ainsi la condition nécessaire, — = —, pour que celte intégrale ne dépende pas de a.
5. Nous allons établir maintenant que cette condition est suffisante. Supposons que nous ayons deux courbes passant en A. et en A', et soit la première donnée par
et la seconde par
les points extrêmes correspondant, pour Tune et Taiitre, à 1 = 1^^
J'envisage la famille de courbes, avec un paramètre a, définie par les équations
, , ai — «2
ai et aj sont deux constantes : pour a = ai on aura la première courbe, et a = aj donnera la seconde. Or, en se reportant à l'expression de SI, on voit que cette variation est nulle puisque
^ = — ^. Donc I ne dépendant pas de a aura la même valeur
pour la première et la seconde courbe : c'est ce que nous voulions établir.
Une remarque est nécessaire. Les courbes représentées par l'équation (a), quand on fera varier a de ai à ol^ se déformeront d'une manière continue en passant de la courbe (/, cp) à la courbe (/i , f i) ; elles balayeront donc tout l'espace compris entre ces deux courbes. 11 faut donc que dans cet espace les deux fonctions V{x^y) et Q(a:, j') soient continues ainsi que leurs dérivées du premier ordre ;
c'est Lien ce qui arrivera d'après nos hypothèses, car, Faire considérée étant limitée par un seul contour, deux courbes, comprises dans cette aire et ayant les mêmes extrémités, pourront se ramener Tune à l'autre sans sortir de cette aire.
6. Nous pouvons donner une autre forme aux résultats précédents ; mais auparavant donnons une nouvelle défînition. On entend par intégrale le long d'un contour fermé une intégrale curviligne où le point d'arrivée coïncide avec le point de départ. Si la fonction à intégrer n'est susceptible que d'une seule valeur en tous les points du contour d'intégration considéré, cette intégrale aura évidemment la même valeur quel que soit le point origine. De plus cette intégration peut être eflecluée dans un sens ou dans l'autre ; nous le préciserons de la manière suivante en nous plaçant au point de vue plus général d'une aire A limitée par une ou plusieurs courbes fermées C, C, G', Ce sera, dans le cas de \difig, 4> l'aire intérieure à C et extérieure aux courbes C et G". Traçons
Fi g. 4.
autour d'un point P de cette aire un élément de surface limité par le contour v. Le sens positif sur ce contour sera tel qu^un mobile en le décrivant se meuve dans le sens de O j: vers O^ par rapport au point P. Supposons maintenant que le point P soit voisin d'une portion quelconque du contour C, C, C et qu'une partie du périmètre Y appartienne à ce contour, un sens déterminé se trouvera alors fixé sur colui-ci, et nous le désignerons encore sous le nom de sens positif
Cela posé, on peul énoncer le théorème suivant :
V intégrale 1 Pdx -\-Çl dy, effectuée le long de tout contour fermé limitant une aire en chaque point de laquelle les fonctions P et Q sont continues et satisfont à la relation -, = --> ^ •' dy Ox
est nulle.
Ladémonstrationde ce théorème est immédiate: il suffit de prendre deux points A et B sur le contour (fig- 5); l'intégrale le long de
l'arc ACB sera égale à l'intégrale prise le long de Tare AG'B
f ?dx-^qdy = f Pdx-\-Qdy.
Donc on aura
fpdx-^Qdy = o,
:n prenant l'intégrale le long de ACBC'A, puisque une intégrale
Fig. 5.
curviligne change de signe quand on parcourt en sens inverse Tare d^ intégration.
7. Il a été supposé, dans ce qui précède, que l'aire où restait le point (x, y) et où les fonctions P et Q étaient continues, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, était limitée par un seul contour. D'intéressantes conséquences résultent encore du théorème établi, dans le cas où l'aire est limitée par un nombre quelconque de contours. D'abord il est manifeste que l'intégrale prise le long d'un contour fermé sera certainement nulle quand ce contour pourra être ramené à un point par une déformation continue sans traverser le contour de l'aire. Si maintenant nous considérons une courbe fermée quelconque tracée dans le contour (^^. 6),
8o INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.
par exemple ]a courbe Y dans l^aire A limitée par les courbes C« C et C, en général l'intégrale prise le long de F ne sera pas nulle; mais envisageons une seconde courbe Y' qui puisse se ramener à rpar une déformation continue sans traverser aucune des courbes
Fig. 6.
C; les intégrales prises le long de Y et de Y' dans le même sens, le sens positif par exemple, seront égales, si on a dans Taire A, comme nous ]e supposons, la relation
cl si les fonctions P et Q, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, sont continues. Cela résulte de ce que la variation de l'intégrale est nulle quand on passe de F' à F par une déformation continue.
Dans certains cas la déformation pourra être faite de telle sorte (|ue le nouveau contour se compose de deux ou plusieurs parties distinctes. Ainsi {fig* 7) l'intégrale prise le long d'un contour F
Fig. 7.
enveloppant les deux courbes limites C'etC" sera égale à la somme des intégrales curvilignes prises le long des contours F' et F" qui enveloppent respectivement C et C".
II^TÊGRALES CURVILIGNES. 8l
On peut en effet déformer F de manière à le réduire au contour r'mnVnm] il faut ici considérer mn comme une ligne ayant deux bords. Les intégrales prises le long de mn et de nm se détruisent évidemment.
