III. — De l'intégrale curviligne considérée comme fonction
de sa limite supérieure.
8. Pour fixer les idées, prenons un contour simple à l'intérieur duquel les fonctions P et Q et leurs dérivées partielles sont continues et satisfont à la condition (3).
L'intégrale
prise d'un point (a, 6) à un point variable [x^y)^ ne dépendant pas du chemin suivi, peut être regardée comme une fonction u de X et y. Cherchons ses dérivées par rapport k x el y. Laissant d'abord y constant, nous faisons varier x de Aj;, et nous aurons ainsi
u(x -t- !^f y) — u{Xj y) = j Vdx-^Cldy\
car on peut supposer qu'on va du point (a, b) au point (x + A;r, y) en suivant d'abord le même chemin que pour aller en (Xfy): Puis, pour aller du point {x,y) au point (x -h Ix, y), on peut suivre le chemin rectiligne : alors l'intégrale se réduit à
.x-hAjp
P{ar, y)dx = \x.V(x -h^ Ix, y ), (o<e<i).
Nous aurons donc
d'où se conclut
et par un raisonnement analogue
Ainsi la fonction ii{x, y) a pour dérivées partielles i^ et Q. P. - I. 6
8a INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.
Il est d^ailleurs évident que si Ton a une fonction u{x, y) ajant des dérivées partielles P et Q, on aura
àP àq
dy "~ dx ce qui résulte des identités
ùxdy dx dy dx dy
9. Étant données deux fonctions P(^, y) et Q{x^y) satisfais sant à la relation précédenlc. on peut, d^une manière plus élémentaire, rechercher la fonction H{x^y) avant ces deux fonctions pour dérivées partielles du premier ordre. De la relation
dx - * ^-^^ ^ '»
on déduit, en intégrant par rapport à x et considérant y comme un paramètre arbitraire,
^{y) étant une fonction arbitraire de^.
Peut-on choisir ^{y) de manière que y- = Q? On doit avoir
r'^dV
, dV dQ . ,
ou, en remplaçant y- par ~ et intégrant,
donc
et il vient fmaicmcnt
M=/ P{x,y)dx^ f Q.{xo,y)dy.
LXTÉGRALES CURVILIGNES. 83
Remarquons que l'intégrale curviligne
pouvait nous conduire à la même forme de u. Prenons en effet, pour contour d'intégration, les deux portions de droite obtenues en menant respectivement par (^o>^o) et par (^T,y) des parallèles a Oy et O j; : l'intégrale sur la parallèle à Oy se réduira à
et l'intégrale sur la parallèle à O^r à
La somme de ces deux intégrales fournit bien la valeur trouvée plus haut pour u.
rv. — Exemples d'intégrales effectuées le long d'un contour fermé.
Racines communes à deux équations.
10. Nous avons dit que l'intégrale effectuée le long d'un contour fermé n'était pas nécessairement nulle; prenons par exemple l'intégrale
I Pxdy — y dx
La condition d'intégrabilité est satisfaite. Cherchons la valeur de l'intégrale prise le long d'un cercle ayant l'origine pour centre, et dans le sens positif par exemple.
Nous aurons, R désignant le rayon du cercle et 6 l'angle polaire,
a: = RcosO, ^=RsinÔ;
et par suite
xdy — y dx = R^ d(i.
L'intégrale se réduira donc à
au
rfe = 1.
L'Intégrale prise le long de ce cercle, et plus généralement le long de toute courbe fermée tournant une fois autour de rorîgine, sera égale à un.
