L'intégrale précédente pouvait s'écrire

:i;Jrfarctang^;

prenons maintenant l'intégrale

Fa et F| étant des polynômes en x et j^, ou même plus généralement des fonctions de ^ et ^ développablcs, dans le voisinage de toute valeur (.r^, y-Q) de x et )', en série ordonnée suivant les puissances croissantes de x — x^^ ai y — Vq, Cette intégrale peut s'écrire

¥\ ^ F} ou encore

(4) 1 = 7!:: fpdx i-Qi/j^,

en désignant par P el Q les expressions

ôx i)x âv ây

qui satisfont évidemment à .— = .^.

"Considérons maintenant un contour fermé quelconque C, pour aucun point duquel les deux fonctions Fi cl Fo ne s'annulent simultanément. L'intéjjjrale (4), prise le long de ce contour dans le sens positif, a une signification remarquable que nous nous proposons d'obtenir. Tout d'abord s'il n\ a, à Tintérieur du contour, aucune racine commune aux deux équations

rinlégrale sera nulle d'après le théorème fondamental (§ 6). Mais supposons qu'il y ait une ou plusieurs racines communes à ces deux équations : autour de chacune de ces racines nous pouvons décrire un contour et l'intégrale prise le long du contour initial sera égale à la somme des intégrales prises le long de chacun de ces contours.

Cherchons la valeur de l'une quelconque d'entre elles, qu'un déplacement d'axes permet de placer à l'origine.

Nous aurons dans le voisinage de a: = o, v = o

les termes non écrits étant de degré supérieur au premier : nous nous bornons essentiellement au cas où «i 62 — ^2 ^i n'est pas nul, c'est-à-dire à celui où le point (^x = o^y = o) est un point simple de rencontre pour les courbes F< = 0, F2:^ o.

Je dis que l'intégrale ne changera pas de valeur si nous réduisons Fj et F2 à ses termes du premier degré. En effet concevons qu'on intègre le long d'un cercle de rayon p ayant l'origine pour centre, nous aurons dans l'intégrale I un terme indépendant de p, et une partie devenant infiniment petite avec p. Le terme indépendant de p n'est autre que l'intégrale I, où F| et F2 sont remplacées par

la seconde partie doit disparaître, puisque l'intégrale ne dépend pas de p, et nous avons

D/* X dy - ■ y dx

en posant

D = CL^Oi — CfjOj.

Pour effectuer rapidement le calcul de cette intégrale, prenons comme nouveau contour d'intégration l'ellipse représentée par l'équation

supposée^ parcourue dans le sens positif.

L^intégrale se réduit alors à

1= - Irciv — ydx.

Mais si nous nous servons des coordonnées polaires p et Q, de

telle sorte que

X — z cosO, >• — 3 sinQ,

on aura

donc

r dv — Y dr - :' </6 :

La signifîcation géométrique de l'intégrale essentiellement positive, qui figure dans le second membre, est facile à Irouver ; c'est le double de Taire de noire ellipse. Or celle-ci a pour aire, comme on le trouve aisémenl.

en désignant par |D| la valeur absolue de D. Nous avons donc

'-[Dl'

et par suite I =^ liz i , suivant que D est positif ou négatif.

Quant à D ce n^est autre chose que la valeur du déterminant

fonctionnel

o¥i àFi !

ox Oj' ,

Ox ôy

quand on substitue à x et y les coordonnées du point racine considéré, (chaque racine pour laquelle ce déterminant est positif donne donc -\- \ dans l'intégrale ol — i si ce déterminant est négatif. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Lintégrale

itJ FJ-t-F} '

prise le long d'un contour fermé dans le sens positif , est égale

à V excès du nombre des racines du système d'équations pour lesquelles le déterminant fonctionnel— -^ -r-^ — -r^ -r^ est

ri • ôx ày ày ôx

positif, sur le nombre des racines pour lesquelles ce déterminant est négatif.

On voit rimportance du signe du déterminant fonctionnel : on ne connaît pas, du moins en général, de formule donnant pour les deux équations précédentes le nombre des racines contenues dans un contour; mais si, quels que soient x et y, le déterminant fonctionnel a un signe invariable, l'énoncé précédent permettra de trouver le nombre des racines. Prenons, en particulier, un polynôme /(-s) à coefficients quelconques; si on pose z^= x -h iy^ on

aura

F| et Fj étant deux polynômes en x et y. Or en diflerentiant, par rapport k x et ky, Fidentité précédente, on trouve

et par suite

àx "~ ôy dy dx

Le déterminant fonctionnel de F| et Fj se réduit à

/^Ft\« . /aFt

\ dx

et est positif; par suite l'intégrale I donnera le nombre des racines contenues dans un contour fermé. Nous retombons ainsi sur un important théorème dû à Cauchy, que nous aurons à étudier d'une manière plus complète dans la théorie des fonctions.