I. — Définition des intégrales doubles

1. Nous allons donner à la notion d'intégrale une nouvelle extension qui, en partant toujours de la même idée fondamentale, nous conduira à la notion de f intégrale double. Soit f{x^y) une fonction de deux, variables .r et^'; faisons varier œ entre x© et X, et^ entre j'o et Y. On supposera que/'(.r,^) reste continue pour toutes ces valeurs de x et y. Pour passer d'une sommation simple ù une sommation double, il est naturel de partager les intervalles (xq, X) et (>'o» Y) comme nous l'avons déjà fait; on

aura ainsi les suites

•/"o» X\t .rj, . . ., J"/j— 1 A»

y^i j'i» yty •••• yi>-\^>

et on considérera la somme double

en rétendant à toutes les valeurs de / et de k respectivement de o à /j — I et de o à /> — i. Nous allons démontrer que, x^ et X ainsi quej'o et Y restant fixes, si tous les intervalles Xi^% — X/ et yiç^^ — y/ç tendent vers zéro suivant une loi quelconque à mesure que leur nombre augmente indéfiniment ^ Vexpression précédente a une limite déterminée.

Une représcnlalion géométrique facilitera le langage ijig* 8) : prenant deux axes de coordonnées rectangulaires, nous menons les

i:ytégràles doubles. 89

droites x = x^^ ;r = X et j^==^'o, j' = Y qui forment un rectangle MXPQ (on suppose :ro<X et^^o<Y). Ce rectangle sera divisé par les droites correspondant aux subdivisions x^^ x^, . . . , ^//j,

Fig. 8.

^^ J'o J>'27 • • • j ^V-i en un réseau de rectangles plus petits. Soil le point a de coordonnées (j*/, ^a); j'appellerai rectangle correspondant à ce point, le rectangle ayant ce sommet et ayant pour côtés Xi^i — Xi el^k+i — y A- Pour former la somme S, on envisage donc tous les points (xi, r^), on prend la valeur de la fonction en ce point, on la multiplie par Paire du rectangle correspondant, et on fait la sommation.

2. Pour démontrer le théorème annoncé, nous devons établir un lemme analogue à celui qui nous a servi dans la théorie de Tinlégrale simple. Rappelons d*abord la définition de la continuité d'une fonction f{x^y) de deux, variables. Une telle fonction est continue dans le voisinage d'un point (a, 6), si, étant donné un nombre positif e aussi petit qu'on veut, on peut déterminer une quantité positive S, telle qu'on ait

pour tout point (x'^y) dont les coordonnées satisfont aux inégalités

Ceci posé, dans l'hypothèse où la fonction/(j;,^) est continue dans le rectangle indiqué, on pourra énoncer le lemme suivant : Etant donné un nombre e aussi petit quon voudra, on peut

go INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

trouver une quantité o telle quà V intérieur de tout rectanglCy de côtés parallèles aux axes, compris dans le rectangle MNPQ et ayant ses côtés moindres que o, Voscillation de la fonction f{x^y) soit moindre que t.

Nous entendons encore par oscillation de la fonction dans une aire la diflerence entre le maximum et le minimum de la fonction dans celte aire. Ce lemme est une conséquence immédiate de la continuité de la fonction f{^,y) à Tintérieur du rectangle; on le démontrera en raisonnant comme au § 2, Chap. I. Partageons MN et MQ en un certain nombre de parties égales, puis de la même manière chacune de ces parties et ainsi de suite. On décomposera ainsi le rectangle MNPQ en un réseau de rectangles égaux de plus en plus petits; il arrivera un moment où Toscillation de la

fonction dans chacun de ces rectangles sera inférieure à -• Si, en

effet, il en était autrement, on aurait nécessairement un premier

rectangle dans lequel Toscillation serait supérieure à -y puis dans

celui-ci un second, et ainsi de suite. Ces rectangles sont compris les uns dans les autres et leurs dimensions tendent vers zéro; ils ont donc nécessairement un point pour limite. A Tintérieur d^un rectangle de dimensions aussi petites qu'on voudra autour de ce

point limite, Toscillation de la fonction serait supérieure à -> ce qui

est en contradiction avec l'hypotlu'se de la continuité de la fonction. Raisonnant alors comme dans le cas d'une fonction d^une variable, on voit qu'il suffit de prendre pour o la plus petite des dimensions des rectangles, quand l'oscillation dans tous ces rec-

tanfi^les est devenue inférieure à - •

3. Nous pouvons aborder la démonstration de Texistence de la limite. Prenons d'abord une loi particulière de subdivision, pour laquelle on passera d\in mode de subdivision au suivant en conservant toujours les lignes de subdivision précédentes. Dans ces conditions, désignons par M,-,a le maximum de la fonction / dans le rectangle correspondant au point (.r/,^'A), et formons la somme