INTÉGRALES DOUBLES. QI

Cette somme aura certainement une limite quand les rectangles tendront vers zéro en suivant la loi indiquée. En effet, elle ne peut que diminuer quand on passe d'un mode de subdivision au suivant, et, d'autre part, elle reste supérieure à

fn(\ — Xo)(Y - -y 0)1

en désignant par m le minimum de /(x,y) dans le rectangle MNPQ. Soit donc [x la limite de l'expression (2). Revenons à la somme S : elle aura dans les mêmes conditions la même limite. En effet, on peut prendre un mode de subdivision assez loin dans la suite, pour que, dans tout rectangle (/, A*), on ait

il suffira que les côlés de lous les rectangles soient inférieurs à 3 (d'après le lemme). Les sommes (i) et (2) différeront alors de moins de

s ^^ (»r/-n — 3r^)(^A-fi — rA-) ou £(X— aro)(Y— jKo);

et, comme e est aussi petit que Ton veut, il en résulte que S a [x pour limite.

i. Il nous faut maintenant démontrer qu'il y aura toujours une limite égale à jx, quelle que soit la loi de subdivision adoptée. Nous allons comparer, à cet effet, la somme S correspondant à un mode de subdivision (j?, y) pris dans la loi précédemment étudiée, avec la somme S' correspondant à un mode quelconque de subdivision que nous désignerons par (.5, t). Nous donnant à l'avance un nombre e aussi petit qu'on voudra, prenons un mode de subdivision (^^y) assez loin dans la série pour que chacun des intervalles Xi^i — Xi et^;t^.i — y/c soit moindre que 5; supposons d'autre part les intervalles (z^ t) assez petits pour qu'entre deux X et entre deux j^ consécutifs il y ait au moins un z et un t. Au rectangle (^', k) correspond dans la somme S le terme

Écrivons, d'autre part, la somme S' en décomposant chaque rectangle (>5, /) empiétant sur plusieurs rectangles (^, ^), en une

somme de rectangles conlcnus chacun tout entier dans un seul de ces rectangles. Nous pouvons alors comparer la part de la somme S' provenant du rectangle (/, A*), à la part de la somme S provenant du môme rectangle. Comme la valeur de la fonction j ù associer à chacun des rectangles partiels formant le rectangle (/, k) est la valeur de cette fonction pour un point situé dans un rectangle (^, ^) limitrophe du point (i, A), il s^ensuit que cette valeur différera Ae f{x^ yiç) de moins de e; par suite, la différence des deux parts considérées de S et S' sera moindre que e multipliée par la somme des aires des rectangles partiels, c'est-à-dire

Nous en concluons que

I S'- S I <£(X-;ro)(Y-ju).

Or S a [JL pour limite; il résulte de l'inégalité précédente que S' aura la même limite, comme nous voulions rétablir. On représente celle limite par le symbole

f j fK^O')^^dy\

il rappelle que cette limite est la somme desélémentsy(or,^)rfxrfj', où les deux accroissements dx et dy sont positifs, et on dit que celle intégrale double est étendue à Taire du rectangle MNPQ.

5. Le calcul de cette intégrale peut élre fait en effectuant successivement la recherche de deux inlégrales défmies. En effel, écrivons la somme

sous la forme

^Yyk^\--yk)^f{^h yk){^M--Xi)Y

et faisons tendre tous les intervalles {xi^^ — xi) vers zéro en laissant d'abord les y constants. La somme dans la parenthèse deviendra

/ h^^yk)dx,

IHTËGH1LE5 DOUBLES. g3

el, en substituant et faisant tendre les intervalles (^*+i — yi,) vers zéro, nous aurons enlin

En efTectuant la première intégration / /(^^^i y) dx, i

regarde

y comme un simple paramètre : le résultat est une fonclion àe y, qui, multipliée par (/>', est in tf'grée entrent et Y. On aurait pu faire les intégrations d '

lans l'ordre inverse, et le résultat eût été

J^ dxj /(x,y)dy.

i|ui doit avoir ta même valeur, puisque la loi suivant laquelle les intervalles tendent vers zéro est indifférente. On n'oubliera pas que les quatre lettres Xq, X, y^, Y représentent ici des conslantcs.

6. Telle est la première généralisation de l'intégrale définie qui s'offrait immédiatement; la forme géométrique que l'on donne à cette notion, en parlant d'intégrale double étendue à l'aire d'un

Fi

rectangle, inspire une généralisation plus étendue. Prenons en effet, au lieu de l'aire d'un rectangle, une aire plane quelconque limitée par une courbe G {Jîg- 9), et traçons dans le plan une succession de parallèles à Ox et à Oy. Nous rangeons encore, par ordre croissant de grandeurs, la succession des abscisses des pa-

94 IMtGRlLES SIIPLCS ET Xl'LTIPLES.

rallèlcà à Oy, et des ordonoées de* parallèles à Ojt. Nous aurons ainsi un réseau de rectangles : le rectangle (f, k) sera, comme plus haut, celui qui correspond au point (xijVà) et qui aura pour côtés X|^i — Xi et va^i — ^v*. Formons la somme '

. -r/. v^ ) j-;*i — Xi »' Vi^t ^ri u

en l'étendant à tous les points (j^î- yà) contenus à Tintérieur ou sur le périmètre de Taire. Certains de ces rectangles, tels quemnpq^ pourront sortir en partie de Taire limitée par C; ces rectangles irréguliers figureront néanmoins dans notre somme. Nous aUons montrer que la somme précédente tend vers une limite quand tous les rectangles tendent vers zéro suivant une loi quelconque.

Prenons encore, pour commencer, une loi particulière de subdivision, pour laquelle on passera d'un mode de subdivision au suivant eu conservant toujours les lignes de subdivision précédentes. Nous désignons par M|,« le maximum de la fonction y dans le rectangle (i, Â"), et nous envisageons la somme

(4) Zj^ M/,<.( J-i^I — J-i )( ^M ,-1 - -Vl).

On voit immédiatement, comme plus haut, que cette somme a une limite quand les rectangles tendent vers zéro suivant la loi indiquée. Elle ne peut en eOet que diminuer quand on passe d^un mode de subdivision au suivant, et même pour les rectangles irrégulicrs la diminution de la somme pourra provenirde ce que Taire à envisager se trouve réduite. D'autre part toutes ces sommes sont supérieures à

en désignant par m le minimum de /"(x, y) dans Tintérîeur d'une courbe fixe extérieure à C et s'en rapprochant d'ailleurs autant qu'on veut. Or, si ni est positif, la somme (4) sera positive. D'autre part, si m est négatif, celte somme sera supérieure à //iR, en désignant par R Taire d'im rectangle quelconque comprenant à son intérieur la surface entière limitée par C. Dans Tun et l'autre cas, la somme (4) décroissant toujours et supérieure à une quantité fixe aura bien une limite [jl. 11 en sera de même de la somme (3), comme le montre le raisonnement fait à la fin du § 3.

7. Nous achèverons celte étude en montrant qu'il y aura toujours une limite égale à [x, quelle que soit la loi de subdivision adoptée. Une petite difficulté se présente seulement pour les rectangles irréguliers que nous n'avions pas à considérer au § 4. Raisonnant de la même manière et employant les mêmes notations, nous voulons trouver une limite supérieure de | S' — S | . Or, les rectangles réguliers donnent pour cette dilTérence une part égale au plus à

la sommation ne comprenant ici que les rectangles réguliers. Cette expression est moindre évidemment que eR (§ 6). Désignons par M le maximum de/; les rectangles irréguliers donnent dans S et dans S' une part inférieure au produit de M par la somme des aires des rectangles irréguliers : désignons cette dernière par s, nous aurons

Si donc nous démontrons que la somme s des aires des rectangles irréguliers tend vers zéro quand tous les rectangles tendent vers zéro, notre démonstration sera achevée, puisque l'inégalité précédente nous montre que S' — S aura zéro pour limite.

Pour établir que s tend vers zéro, considérons deux parallèles

Fig. 10.

consécutives à l'axe des^, et soit ab un des arcs qu'elles découpent sur la courbe G {/Ig» lo). Plusieurs rectangles irréguliers pourront être traversés par l'arc ab : i\ y en aura trois dans le cas

g6 IMÉGRÀLES SIMPLES ET MULTIPLES.

de la figure. La somme des aires de ces rectangles sera égale à leur hauteur commune /i, distance des deux parallèles, multipliée par la somme mn de leurs hases. Nous supposons d*ailleurs les côtés de tous les rectangles moindres que o; donc mn sera moindre

que 2 augmenté de la projection de la corde ab sur Oj', et cela quel que soit le nombre des rectangles. Nous pouvons alors dire que la somme des rectangles envisagés est moindre que

/i ( ji G H- a6 ) ; el, par suite,

ou, puisque h < o,

5 < ■>. ^ /< -h ^ ab.

Or ^ // est finie; car, en désignant par )» le nombre de fois maximum qu'une parallèle à l'axe Or rencontre la courbe C, et par / la distance des parallèles extrêmes à O^' rencontrant la même courbe, on a

D'autre pari, la somme des cordes ab est finie; en effet, la somme de leurs projections sur Ow est moindre <]ue A, et la somme de leurs projections sur O^ esl moindre que /' )/, en désignant par X' le nombre de fois maximum qu'une parallèle a Oj; rencontre la courbe G, et par l' la distance des parallèles extrêmes k Ox rencontrant cette courbe. Il en résulte

~ûh<:i\-r-n'.

Sy étant le produit do 3 par un facteur qui reste lini, tend donc vers zéro quand tous les rectangles tendent vers zéro.

On pourra établir «fune manière plus rapide que s tend vers /.éro si l\>n suppose «pie Ton puisse construire deux lignes polvgonales formées. Tune inlérieuro, faulre extérieure à la courbe, el lellos que Taire comprise entre ces deux lignes soit inférieure à un nombre s donné à Taxance aussi polit que Ton voudra. Tous les rectangles formant <^, si les subdixisions sont poussées suffisamment

loin, élant compris dans cette aire, la somme s tendra vers zéro. Comme on s'en rend compte aisément, on pourra obtenir des lignes polygonales remplissant les conditions énoncées plus haut dans le cas où le contour est rencontré par toute droite en un nombre limité de points ; cette dernière condition n'est d'ailleurs pas nécessaire.

L'existence de la somme (3) est donc complètement démontrée.

J'ajoute qu'au lieu de la somme (3) on peut considérer d'une manière plus générale la somme

où x'^ et y\ sont les coordonnées d'un point quelconque silué dans le rectangle (i, k); la limite est la même. En effet, /{j^'i^y'fi) diffère Ac /{xi^yn) de moins e, si les dimensions des rectangles sont moindres qiSe 8 ; les deux sommes différant de moins de

auront la même limite.

Le calcul de cette intégrale pourra s'effectuer comme il suit. Supposons, ce que l'on peut toujours faire par un partage d'une

Fig. II.

aire en plusieurs autres, que la courbe G soit seulement rencontrée en deux points par une parallèle à Oy {fig- 1 1). Effectuant d'abord la sommation en laissant x constant, nous avons, pour chaque accroissement dx,

dx l f{x,y)dy,

tjH i.>té(;hales simples kt xlltiples.

<!ii (l/'signant j»ar Vi ei y^ (j't >J>'2 j 'es ordonnées des points de n-ncontrc avec C d'une parallèle à O^v d'abscisse x. Sommant ensuite par rapport à x, nous aurons

a et A étant deux constantes qui représentent les abscisses des parallèles extrêmes à Oy^ rencontrant la courbe. On remarquera (juc les limites Vf et^a de la première intégrale sont au contraire, en général, des fonctions de x. On aurait pu effectuer ces sommations dans un autre ordre, mais les limites eussent été tout autres, ce qui eût donné pour expression de Fintégrale

Il ^,ji-.

j"i et Xi d«»signanl les abscisses des points de rencontre avec C d'iine parall«Me à Oxix^ -C -c^), b et B désignant les ordonnées extrêmes.

Arrètons-iious sur le cas simple où f(x,j') := i ; on a alors l'intégrale double

/ jdxdy;

su valeur sera dimnée par

j (tx I ((y = I f Vî— r, ) (ix.

On reconnaît là Texpression de l'aire, donnée par une intégrale sim[)le. l/aire limitée par une courbe C peut donc être considérée comme la limite do la somme des aires des rectangles élémentaires (fxffy,