Soit i\ effectuer sur .r et y le changement de variables

LVTÊliRALRS DOIBLES. 99

Nous supposons que celte transformalion élablissc une correspondance uniforme entre les points d'une aire A située dans le plan (x, y), et une aire A' située dans le plan (a, [i); on entend par là qu'à un point de A correspond un seul point de A', et inversement. 11 est nécessaire pour cela que le déterminant fonctionnel

n = ^ ^ ^ ÎÎ2

ne s'annule pas à l'intérieur de A^ Nous supposerons donc que D garde un signe invariable sans s'annuler.

Soit maintenant l'intégrale

y I F(x,jr)dxdj%

étendue à l'aire A. Une question importante se présente : Par quelle intégrale étendue à Vain* k' pouvons-nous remplacer cette intégrale?

Sans nous préoccuper des limites, l'intégrale double revient, comme nous l'avons dit, à la superposition de deux intégrales simples

j dy j¥{x,y)dx.

Au lieu de^retj^*, prenons a et j^ comme variables. La première intégration

V{x,y)dx

suppose^ constant. Si Ton prend a pour nouvelle variable au lieu de x^ on sait que, pour avoir le nouvel élément de l'intégrale, il suffit de remplacer dx par la différentielle de x en fonction de la nouvelle variable a. Or on a

et ^ est lié par a par la relation

o\iy est à considérer comme une constante. Nous aurons donc

lOO INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

avec

ce qui donne

dx =. D -"- .

L'intégrale double devient alors

frr"-\f-i

Laissons maintenant a constant et prenons ^ comme variable indépendante au lieu de )'; nous aurons

et par suite notre intégrale se réduit à

Signalons tout d'abord une difticulté qui résulte du dénominateur -t| introduit dans les calculs. Or ce dénominateur disparait

dans le résultat (inal; il y a donc lieu de penser que la difliculté

« • Il , . . . Oz> , do

n est qu apparente.'. Il en est bien ainsi, car, -r*- et -^ ne pouvant

s'annuler a la fois, nous pouvons décomposer notre aire en aîres partielles où l'une au moins de ces dérivées sera différente de zéro.

Si -t| s'annule dans une de ces aires, on dirig^era le calcul en intro-

duisant d'abord ^ au lieu de a, ce qui amènera le dénominateur

-2, et la difficulté disparaît.

Los calculs précédents ont été faits sans se préoccuper des signes des différentielles. Or, dans une intégrale double telle que

(^) fjv{x,y)dxdy,

étendue à une certaine aire, dx et dy sont essentiellement posi>

IKTËIIHALES DOLULES.

tifs. Pour voir nettement conimenl ou devra preodre rinlégiale transformée, supposons F = i ; nous avons d'une part

et de l'autre

On a donc remplacé l'élénienl (/jTf/)' parD(ia</^. Si l'on veut i[ue dt et if^ soient aussi à considérer comme positifs, il faudra mettre devant D rfa rfp le signe de D.

Posons E = ± I , suivant que D, qui a un signe constant, est positif ou négatif; on substituera à </x </^ l'élément e D (^a^f^, et dans ces conditions l'intégrale (5) étendue à V aire K sera remplacée par l'intégrale

"^ fP{/.o)tDdad

étendue à l'aire k' dans le plan (a, P).

9. Le théorème précédent nous permet d'élargir notre notion de l'intégrale double; jusqu'ici, pour l'obtenir, nous avons partagé le plan en deux réseaux de droites perpendiculaires, et nous avons considéré les rectangles formés par deux droites du premier réseau et deux droites du second. Prenons d'une manière plus générale deux réseaux de courbes a et ^ W'S- '2)' '®^* 4"^> P^*" chaque

point à l'intérieur d'une courbe C, passent une courbe et une seule du premier réseau ainsi qu'une courbe et une seule du second. Désignons par t» l'aire d'un quelconque des quadrilatères curvi-

lOa I^TÉi.RALES SIMPLES ET ILLTIPLES.

lignes, lels que mnpq. obtenus en traçant un certain nombre de (!ourbes de Tun et Tautre réseau. Soit ( jr^y • un point à Fintérieur du <[uadrilatère mnpq. et formons la somme

S = > > Fi jt. v.iw.

( ^ette somme doiibU* aura encore une limite quand tous les quadrilatères curvilignes tendront vers z/rro, leur nombre augmentant indéfîniment.et cette limite sera toujours la même intégrale double. Pour l<' numlrer. éxaluons l'îiire

dx dv.

comprise entre deux courbes a et deux courbes ^. Désignons par

les équations définissant les deux familles de courbes. Quand, x restant constant, on fait varier ^3, on a ce que nous avons appelé une courbe a, et de même les courbes ,3 correspondent à une valeur fixe de a. Si nous substituons les variables 2 et ^ aux variables X et >', r intégrale (() ) deviendra

/ j t\)d0Ld'^\

donc l'élément de surface co compris enlre les courbes a, a -h rfa et les courbes [3, ^--t/^ est égal à eD^/arf^, et la limite de la somme S n*est autre chose que

U\(x,y)tDdzd^,

c'est-à-dire

/ IV{x,y)dxdy\

celle dernière intégrale étant étendue à Taire limitée par G.

10. Comme exemple de changement de variables, substituons aux coordonnées rectangulaires des coordonnées polaires. Les for-

INTÊUHALES DOUBLES. I03

mules de substitution sont

.r — p cosO, y = p sin 0.

Les courbes p = const. sont des cercles et les courbes 9 ~- consl. des droites issues de Torigine. Calculons le nouvel élément zD(/p r/Ô qui devra remplacer dx cly. On aura ici D ^^ p, e =^ i , et par suite

JJdx dy ^ffp d? di) .

Supposons qu'étant donnée une courbe C on ait à calculer Taire d'un secteur compris entre le raNon fixe OAq, le rayon variable Ox\ et la courbe. On étendra l'intégrale / j p dp dh k l'aire de ce secteur; l'aire cherchée sera donc

ifpdpdO^. f db f pdp^- f ^d(ï.

Appli(|uons, avec Poisson, la même transformation à l'intégrale double

f je-^'-y' dx dyr^ Il e-r-p dp </0.

Klondons d'abord cette intégrale au carré de centre O dont les cotés sont parallèles à Oj: et Or et égaux à 2^. Nous aurons ain>i l'intégrale

Si l'on étend cette intégrale au cercle de rayon R ayant pour centre l'origine, elle sera égale, en se servant des coordonnées polaires, à

/ dp / e-9*p do = -11 — <'-"• ).

Or Taire du carré considéré est comprise entre Taire du cercle de rayon a et celui de ravon a ^2 ; par suite,

lo4 INTÊUKALËS SIMPLES KT MULTIPLES.

Si donc nous taisons croître a indéHniinent, il viendra