III. — AppUcations. — Volumes et surfaces
11. Comme exemple de transformation d'intégrale double, el pour trouver en même temps une formule importante, j'envisage l'intégrale
élenduc à Taire limitée par une courbe fermée C. Prenons d* abord la première intégrale
/ / -—(/xdy:
nous pouvons effecluer une première intégration et l'écrire
si nous supposons, uniquement pour simplifier, qu'une parallèle à Taxe des^', répondant à l'abscisse :r, rencontre la courbe seu- I /meut en deux points de coordonnées j'i et ^2 ( K| O'a)? cl si a v{ A (f7<cA) désignent les abscisses extrêmes des ordonnées iM»nconlranl la courbr. Oi\ si nous considérons l'intégrale curvilif^ne
fvdx.
prise dans le sens positif, ou aura
:N(»us avons donc
fvdx f lP(Ki, ^^-P(v„:r)l^^.
Jfldxay^.^Jvax.
l'ii nilrul analogue montre que
/ / '7 dx dr = Tq dy :
IMÉGRALES DOUBLES. lO,")
tl'oii \2i formule fondamentale que nous voulions obtenir
l'intégrale curviligne étant prise dans le sens positif (§ 6, Ch. III;.
On peut tirer de celte formule la condition pour que V intégrale
curviligne, qui figure au second membre, soit nulle le long de
tout contour fermé; l'intégrale double du premier membre doit.
dans ce cas, être nulle, quand on Télend à une aire quelconque.
ce qui entraîne
à? dq
dy ~~ ôx
condition que nous avons obtenue précédemment.
Faisons une application très particulière de la formule fondamentale, en faisant d'abord P=j^, Q = o, puis P=o, Q = x; nous obtenons ainsi
\ i dxdy = — i ydx, 1 1 dx dy = j xdy;
et par suite
/ I dx dy = - I X dy — y dx,
ce qui nous donne l'aire limitée par la courbe C, au moyen d'une intégrale curviligne étendue à cette courbe, et prise dans le sens positif. Ainsi, par exemple, si la courbe C se réduit au périmètre d'un triangle, dont les sommets ai, a2, a^ aient pour coordonnées (^mJ^'i)» (^27^2)» (^sy^a)? l'aire A du triangle sera donnée par la formule
^3 yz i
ce déterminant représente en effet l'intégrale curviligne prise positivement le long du périmètre du triangle, si, en le parcourant dans ce sens, on rencontre les sommets dans l'ordre ai, «2, 03.
12. Passons maintenant à la définition des volumes limités par des surfaces.
Io6 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.
Ktant donnés trois axes de coordonnées rectangulaires, Ox, O^', O^, on considère une surface représentée par l'équation z=/(x, y)y et dan^ le plan .rOy une aire A limitée par une courbe (], Construisons un c\lindre parallèle k Oz et ajant pour directrice G; ce cvlindre coupe la surface suivant une certaine courbe fermée. Le volume à définir est le volume limité par le cvlindre, la surface et le plan j"0 )'. Découpons, comme précédeminonl, Taire A en quadrilatères curvilignes au moyen de deux fatnillcs de courbes a et ^, et soit oj Taire deTun quelconque de ces <]uadrilatères; prenons dans ce (piailrilatère un point (^, r^)\ à ce point correspond sur la surface un point par lequel je mène un plan parallèle au plan des xy. Le volume cylindrique limité par ce plan, celui des xy et la surface du cylindre parallèle à 0^ ayant pour directrice le périmètre du quadrilatère curviligne co, sera w/*($, r^). La somme de tous ces éléments
a une limite <|ui sera le volume cherché. Si Ton emploie x ely comme variables sommaloires, ce sera Tintégrale double
J{Jr,y)dxdyy étendue à Taire A.
On passe de là à la définition A\\n volume fermé limité par une surface quelconque : il suffit de le considérer comme une somme algébrique de volumes analogues au précédent.
Soit comme exemple Téqualion z = --> qui représente un pa-
raboloïde hyperbolique lan«;ent au plan xOy à Torigine. Si Ton prend les plans x ^^ a^ jr - A et ^' = 6, j' = B, le volume limité par la surface, le plan des xy et ces quatre plans sera
dx dy —
13. Comme autre application de la notion d'intégrale double, nous définirons Vaire d^ une surface courbe.
Soit encore z^^ J\x^ y) Téquation d'une surface. Sur cette
INTÉGHALES DOLBLES. IO7
surface nous considérons une courbe fermée C qui en limite une partie. Que doit-on entendre par l'aire de celte portion de surface?
Projetons la courbe C sur le plan xOy suivant une certaine courbe c, et traçons dans ce plan les deux familles de courbes dont nous avons déjà fait bien souvent usage : soit w Paire d'un des quadrilatères curvilignes élémentaires. Concevons le cylindre parallèle à O^ et ayant pour directrice le périmètre de w : il découpe sur la surface une petite courbe fermée û ; à l'intérieur de Taire limitée par £2, je prends sur la surface un point arbitraire ( Ç, r,, Ç), et je mène en ce point le plan tangent à la surface.
Ce plan coupe le cylindre suivant une courbe enveloppant une
aire iz. Faisons maintenant la somme V^-re de toutes ces aires
planes élémentaires : il est aisé de voir qu'elle tend vers une limite. Désignons, en effet, par F{x^y) le cosinus supposé positif, en prenant un sens convenable, de Tangle de la normale à la surface au point (^,^, z) avec Os. On aura
puisque 7t et w sont des aires planes. Nous devons donc sommer
F(^rj'
qui aura une limite si, comme nous l'admettons, il n'y a pas, dans la portion considérée de la surface, des points où le plan» tangent soit parallèle à l'axe des z. On pourra représenter cette limite par l'intégrale
dxdy
SI
étendue à Taire c, dans le plan des xy.
En introduisant les dérivées partielles
àz ^^
on aura
v/l-h /)*-+- gr»
108 l.XrÉGBALES SIMPLES ET MILTIFLES.
el par sulle i*aire sera représentée par i*lntégrale double
I T-/>- -r- q^ dx dy.
Soil, par exemple, à calculer dans une sphère ayant pour centre
rorif;lne et pour rayon R Taire de la zone limitée par un cercle
de rayon /•, parallèle au plan des xy el inférieure à la demi-sphère.
Nous nous servirons des coordonnées polaires p et 8 dans le plan;
on aura alors
CD — p rfp ^0 ;
el le cosinus do la normale, c'est-à-dire du rayon, avec Oz sera j. — • Nous devons calculer
(levant varier de o à 27r, et p de o à /• : on aura donc
en désignant par h la hauteur de la zone.
It. Nous désignerons souvent, dans la suite, sous le nom à* élément de la surface. Taire plane élémentaire iw. On a
en désignant par y Tangle de la normale à la surface avec Taxe des z. Les lettres w et t: ont représenté essentiellement jusqu'ici des aires positives; la formule précédente suppose donc que v désigne un angle aigu. Si dans le plan des xy on emploie les variables X el y^ co est égale à dxdy; quant à 7:, nous le représenlt»rons souvent par dy pour marquer qu'il représente un élément tle surface : nous pouvons alors écrire
tix dr = oosY di,
les éléments dr el dxdy étant, je le répèle, des quantités positives. Nous maintiendrons sans exception celle règle pour d^: il
