INTÉGRALES DOL'BLKS. IO

n'en sera pas de même pour dx dy^ comme nous allons le voir dans un moment en étendant encore le point de vue sous lequel nous envisageons les intégrales doubles.

Mais, auparavant, cherchons l'expression de e/^dans le cas où la surface est représentée par les trois équations

M et p désignant deux paramètres arbitraires.

Pour bien préciser, nous supposerons que, quand le point (w, p) décrit dans son plan une certaine aire S, le point (j;, y^ z) décrive la surface S, de telle sorte que les aires S et S se correspondent uniformément. L'aire est représentée par

dx dy cosy

en prenant dx dy positivement et cosy positivement. Or, d'après la théorie du changement de variable, nous avons

, , fdxdy àx dy\ , , D(.r, r) , ,

dxdy = z { z — ; ^ — j- ] du av = z 7— du dv.

-^ \du dv dvôuj l>{u, V)

en emploj^ant une notation souvent adoptée pour le déterminant fonctionnel et en prenant pour e les valeurs d=i, de telle sorte que le second membre soit positif. D'autre part, les cosinus directeurs de la normale à la surface sont proportionnels à

La valeur de cosy, prise positivement, sera donc

le radical étant pris positivement. Nous aurons, par suite, en substituant,

"'-vWM^^mw^mm'-'-

f fO INTÉGRALES SIMIM.ES ET «ILTIPLES.

el la surface sera alors représentée par Tintégrale double

■- ffv\m',\'- m:\'- im!?""-

étf^ndue, dans le plan (//, ç*), à Taire S.

(^elte formule a une généralité que n'avait pas la formule [y), Klle est applicable, même dans le cas où, en certains points de la .surface envisagée, le plan tangent serait parallèle à O:;. Elle définit |>ar conséquent, dans tous les cas possibles, Taire limitée sur une surface par unq courbe fermée : on peut, en effet, toujours * découper cette aire en portions assez petites pour établir une cornmpondance uniforme entre chacune déciles et une aire £ dans le plan hd, v).

Ajoutons encore une remarque. H est important de vérifier que IVxpreMHion trouvée pour Taire d'une surface est indépendante i\\i Hystème d'axes de coordonnées employées. La vérification sera immédiate sur la formule (8). Soient

X — a\ -t- rt'Y -r- «*Z,

z ^ cX-r-c'Y-4-c'Z

!<?» forniuhf.H de transformation de coordonnées; on pourra regar-

t[t*v X, Y, Z comme des fonctions de w et r : les déterminants

fonctionnels

b (û^v ) ' b(w, v) ' b(a, V) i>'<'Kpriment à Taide de

DCY, Z) D(Z,X) D(X.\)

é'jtmimt .r,y^ z à Taide de X, Y, Z. On voit donc que la somme d<'t» carrés de ces trois déterminants fonctionnels reste invariable.