IV. — Définition des intégrales de surface

ifi. Nous avons généralisé précédemment la notion des inté- ^rdb'b simples définies, en étudiant les intégrales curvilignes.

LNTÉli RALES DOUBLES. I I I

Mous allons pareillemenl défiiïir les intégrales doubles étendues à une surface.

Quelques remarques sur les surfaces nous sont indispensables. Soit une portion de surface S limitée par une ou plusieurs courbes ; on la suppose telle qu'on puisse distinguer sur elle deux côtés différents : Tun de ces côtés, par exemple, peut être peint en rouge, l'autre en bleu, et Ton ne peut passer d'un point de l'un à un point de l'autre d'une manière continue sans traverser les courbes limites ('). En un point P de l'un on fixe sur la normale une direction déterminée, et la direction opposée au point correspondant P' (qui coïncide géométriquement avec P) de l'autre. La direction de la normale en chacun des points de l'un et l'autre côté se trouve alors déterminée sans ambiguïté si le point P ou le point P' se déplacent, sur les côtés correspondants, entraînant avec eux la direction choisie de la normale, qui varie d'une manière continue.

Considérons, par exemple, le cas simple d'une portion de surface que rencontre seulement en un point toute parallèle à Taxe Oz. On pourra sur cette surface distinguer deux côtés : si l'on associe à un point P de l'un la direction de la normale qui fait un angle aigu avec Oz, et au point correspondant P' de l'autre la direction opposée qui fait un angle obtus, ces deux angles varieront respectivement d'une manière continue en restant l'un aigu, l'autre obtus, quand les points P et P' se déplaceront sur leurs côtés respectifs; ils suffiront par conséquent à les distinguer.

Soient maintenant C(x,y, z) une fonction de jf, y^ z et une surface S, >s = ^{^^y)i limitée par une courbe L, que je supposerai d'abord n'être rencontrée qu'en un point par une parallèle à 0.5; L se projette sur xOy suivant une courbe /. Formons

(') II existe cependant des surfaces sur lesquelles on ne peut distinguer deux côtés. On en réalisera facilement une de la manière suivante. Que l'on prenne un rectangle de papier abcdj dans lequel je suppose que ab et ce/ désignent deux côtés parallèles, de telle sorte que a et d, ainsi que b et c, désignent des sommets opposés. On contourne la feuille de papier de telle sorte que ab vienne coïncider avec rfc, en faisant coïncider par conséquent les sommets opposés. On réalise ainsi une surface limitée par un seul contour et qui n'a qu'un côte. De toiles surfaces sont exclues des considérations qui vont suivre.

Il'i INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

riiiU'^KraU^ lioiihlr

(Uriuilio ik Taire /, en supposant que z soit remplacé par sa valeur KM\ toiuiiou lie x et y* Cette intégrale a un sens précis quand le ooiiloiir \é et la surface z =:cp(j;,^) passant par ce contour sont (loiiiu^H. Introduisons les éléments </o- de la surface; pour cela, roniplnvons dxdy par cosYt/o-. L^intégrale (9) devient alors

Mil) I I C{x^y,z)cos'f dy.

Ortte dernière forme a une généralité que n^avaît pas la preiiiièiT. Pour Tobtcnir, nous avons supposé qu*à une valeur de x ri K ne correspondait qu*un point de la surface; dans cette hypolliè.se, cosy gardait sur Taire envisagée un signe invariable, et c'est t'u supposant cosy positif que nous avons pu remplacer dxdy par cosyr/^. L^intégrale ((>) ainsi comprise, en restant dans Toixire d'idées où nous nous sommes jusqu^ici placé, sera dite prisr sur la surface S, du côté de la surface où la normale, considérée comme demi-droite, fait avec Ta\e des z un angle aigu. Mais, comme nous Tavons dit, sur notre surface S nous pouvons on\isager le second coté pour lequel ici la normale, considérée comme demi-dmile, fait un angle obtus avec O^ : Tintégrale (10) a toujours un sens précis ; nous dirons alors qu^elIe représente Tiulégrale ^i)^ prise sur le second côté de S.

La délînitiou s'étend d'elle-même. Quels que soient la surface quo Ton envisage et le côté que Ton considère sur elle, Tintéf;iale ^^lo"^ aura pour lui un sens parfaitement déterminé en mettant pour oosv le cosinus de Tangle fait par Oz et la direction de lu normale correspondant à ce côté. On dira que cette intégrale \^io^ ainsi prise représente Tintégrale 19'» étendue au côté vou^idéiv de la surface. Il v u là, comme on voit, une extension de la notion d'intégrale double, car, dans Tintégrale ^^9"^ ainsi géuôralîsoo, IVlémenl t/x</v n'est plus nécessairement positif.

l^ans Tintégrale ^9^, Télénient d'intégration était dxdy: on peut de même considért*r des intégrales telles que

INTÉGRALES DOIBLES. Il3

él(;ridues à un coté déterminé d'une surface et dans lesquelles rélénicnl d'intégration est dy dz ou dzdx. Elles seront représentées respectivement par

/ j \(Xjy^ z) cosadd et / j Uix^^y z)cos^d<Jt

où a et ^ désignent les angles faits par la direction de la normale correspondant au côté choisi avec les axes des x et des y.

Eu faisaut la somme des trois intégrales précédentes, on a encore une intégrale de sur/ace

(11) I j \ dy dz H- B dz dx -h C dx dy

(|ui est souvent employée. On peut l'écrire sous la forme

/ / (Acosa-T- B cos^ -h Gcosy)c?5.

16. Il est important d'avoir l'expression de l'intégrale ( 1 1) quand on exprime x, y^ z en fonction de deux paramètres u et v, comme nous l'avons fait au paragraphe (i3). En se reportante l'expression trouvée pour rfo-, et en se rappelant que cosa, cos^, cosv sont proportionnels aux déterminants fonctionnels

ces cosinus sont déterminés, au signe près : on prendra un signe ou l'autre, suivant le côté envisagé de la surface. L'expression (i i ) est donc égale à

ii'À )

rf\x ^1^ ...nfi^- -.c-lfî^l^e../..

ou à cette intégrale changée de signe, suivant (ju'on prend un côté ou l'autre sur la surface. Cette inté^^alc double est une intégrale déliaic ordinaire, étendue à Taire ï, dans le plau {ii,i>) (voir § 13 ) qui correspond uniformément à S.

Il4 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.