V. — Condition pour que Tintégrale de surface

i j\ dydz-^^dzdx-^C dx dy

ne dépende que du contour.

17. Nous pouvons nous proposer, sur les intégrales de surface, une question analogue u celle (|ue nous avons résolue ( Cliap. III, § 3) pour les intégrales curvilignes. A (juelle condition l'inlégralo de surface

\^- I I \ dy dz -, H dz dx-^Cdx dy

(lépendra-t-elle seulement du contour llmilant la surface à laquelle elle est étendue?

Nous supj)osons que, pour une surface S, les coordonnées J!*, )% z soient exprimées, comme il a été dit, en fonction de deux paramètres u et V. Nous avons alors pour Tinlégrale Texpression ( i^.).

Or, considérons une famille de surfaces avant la même limite et dép(uidant A\\n paramèlre arbitraire a ; pour ces surfaces, nous concevons que x^ y, z soient exprimées par des fonctions de i/, i» et du paramètre a. (^Jiaque valeur de a détermine une portion de surface (|ui correspond à Taire X dans le plan (w, r), et on peut choisir évidemment ces fonctions de manière que la courbe correspondant au périmètre de 1' ne dépende pas de a, et soit, par suite, la même pour toutes les surfaces. De plus, nous admettons (|ue les limites entre les(pielles on fait varier a sont telles que dans tout l'espace, balayé par les surfaces correspondantes, les fonctions A, IJ, C et leurs dérivées partielles du premier ordre restent continues.

Calculons la variation de I, en réservant comme précédemment la lettre o aux variations, c'est-à-dire aux dillérentielles prises par rapport à a.

La variation de

/ / A dy dz ou / / A — du d\>

sera égale à

IM'ÉGRALKS DOUBLES. IID

OU, en développant, à

J J lOx dy ^ dz \ D(w, p)

. r A fâ ^ -+- --^^ — - --^ - ~ '^ —^dud,,

La seconde' intégrale peut être transformée au moyen d'intégrations par parties : ainsi Ton a

en se rappelant que la variation de Zy est nulle sur le bord ; et chacune des intégrales qui composent le second terme de (i3) peut être transformée de la même manière. Remplaçons ensuite, en développant les calculs,

M ôji^dx f)\Ù2^ d\ dz

du ^ dx du ây du "^ dz du

et pareillement pour -^ : l'expression (i3), après des réductions qui se font d'elles-mêmes, se réduit à

r r dk VTi( V, z)^ D(z,.t)^ DC.r. rU 1 . ,

JJ dxyD{,u,v) Ï^KU^v) -^ D(M, 1') J

Finalement, après des calculs analogues pour les deux autres intégrales qui forment I, nous obtenons

r r\à>^ d\^ do^\l>(v.-.^ ^ DC'.-r^, nr.r.v),"i, ,

oI=| I \-^ — h; — t-T- r^-T oar -r- ï:; — oy -H .- -0^ I du dv.

J J \dx dy dz\\p{u,v) D(a,i;)-^ ^{u,v) J

Or, 81 doit être nulle, et, comme les signes des variations Sa:, o^, 05 sont arbitraires, il en résulte que l'on doit avoir identiquement

OK d\^ dO ' dx dy dz

Cette condition nécessaire est en même temps suffisante. Nous formerions en effet, étant données deux surfaces ayant même contour, une famille de surfaces avec ce même contour et dépendant d'un paramètre a, et dont feraient partie ces deux surfaces ;

I l6 INTÉGRALES SIMPLES ET MI:LTIFLES.

et le mode de raisonnemenl employé au § 5 (Cliap. 111 ) est encore applicable.

Sans qu'il soit nécessaire d'insister et en se reportant toujours aux intégrales curvilignes, on voit que nous pouvons énoncer le théorème suivant :

La relation ( i { ) exprime la condition nécessaire et suffisante pour que l* intégrale l^ étendue à une sur/ace fermée, à r intérieur de laquelle A, B, C et leurs dérivées partielles du premier ordre sont continues, soit égale à zéro.

18. Il suffira aussi d'énoncer les conséquences de ce théorème. Si une surface fermée S contient à son intérieur des points où les fonctions A, B, C cessent d'être continues, l'intégrale étendue à cette surface ne sera pas nulle en général, mais elle gardera une valeur constante quand on déformera la surface sans lui faire traverser aucun de ces points singuliers.

Je prends, comme exemple, l'intégrale

r rfr riz -^ y dz dx -f- z dx dv

^jri-^yt^Z*-)

La condition (i4) sera vérifiée, (^'intégrale étendue à une surface fermée est nulle, quand celte surface ne comprend pas l'origine à son intérieur. Cherchons sa valeur quand on intègre suivant une surface fermée (sans ligne double), comprenant l'origine à son intérieur. Nous supposerons que le côté considéré sur la surface soit le côté extérieur a Toriginc. Il suffira d'intégrer sur une sphère de rayon R ayant son centre en ce point ; nous avons donc

à calculer

I /* /* .r cosa -•- V rns3 -J- 5C0SY ,

J^JJ -îô -^'^

en désignant par a, |3, y les angles faits par la normale extérieure a la surface avec les axes de coordonnées : on a, dans le cas actuel,

cosa-|^ -7- cos^jr -r- cosy-^ = I,

et |>ar suite

I^ , 'o. I I di^ r.