INTÉGRALES DOUBLES. II

VI. — Formule de Stokes, 19. Nous venons de voir que l'intégrale de surface

/ I \ ci^ dz -\- B dz dx -\- C dx dy,

étendue à une surface limitée par un contour L, ne dépendait que de ce contour, quand la condition

dA (?B ac

Ox ày dz

était satisfaite. On peut dans ce cas mettre Tintégrale double sous la forme d'une intégrale curviligne prise le long du contour L.

Montrons d'abord que, étant données trois fonctions satisfaisant à Fidentité précédente, on pourra trouver trois fonctions a, p, y de Xj y, z telles que

oz oy Ox ôz ' dy ôx

Prenons, par exemple, y = o î nous satisferons aux deux premières équations en posant

a=— / B{x,y,z)dz, ?=/ P^{x, y, z) dz -^ o(x, y),

5o désignant une constante numérique et cp étant une fonction arbitraire de X ely. En portant ces valeurs dans la troisième équation, il vient, en se servant de l'identité (i5),

-^ -^-C^x.y.zo) - o,

et on pourra, par une quadrature, déterminer une fonction ^{x^y) satisfaisant à cette équation. Il est clair d'ailleurs que, si ai, p,, y, désignent une solution particulière des équations (i6), la solution la plus générale sera donnée par

dx Oy ' * Oz

F étant une fonction arbitraire de x^ y, z.

I l8 INTÊGRALKS SIMPLES £T MULTIPLES.

Nous avons alors à considérer des intégrales de surface de la forme

- IM - Z)^'- (S- :-!)--- cl- Ë)-"-

De telles intégrales se rencontrent dans plusieurs théories importantes de Physique maihématique. On peut exprimer cette intégrale au moyen de Vintégrale curviligne

/ a. dr -\- ^ dy -^ ^ dz^

prise le long du contour J..

11 importe de bien définir le sens dans lequel sera prise cette intégrale curviligne. L'intégrale (17) est étendue à un côté déterminé de la surface S. A chaque point de S correspond une direclion de la normale; traçons autour de P un élément de surface limité par le contour 7:. Le sens direct sur le contour 7t sera le sens de gauche à droite pour un observateur placé sur la normale, ayant les pieds en P et la tête dans la direction de cette normale. Supposons maintenant que le point P soit voisin du contour i\ et qu'une partie du périmètre tt appartienne à ce contour. Un sens déterminé se trouvera alors fixé sur celui-ci, et ce sens sera évidemment toujours le môme, de quelque partie du contour que se rapproche le point P. Nous allons montrer que, le sens sur F^ se trouvant ainsi fixé, les intégrales i^yj) et (18) sont égales et de signe contraire, si le sens de rotation du trièdre {Ovyz) est direct (*\

20. Démontrons d'abord le théorème dans le cas où le contour C est plan ; on passera ensuite immédiatement à un contour quelconque. Nous allons simplement faire un changement de coordonnées, en prenant un nouveau système d'axes (ÛXYZ) de

(') l-n Iricdre {Oxyz) où l'ordre de permutation circulaire des arêtes est donné a son sens de rotation direct, quand un observateur placé sur une quelconque des arêtes, les pieds en O, voit l'aréle suivante coïncider avec la troisième au moyen d'une rotation d'un angle droit en tournant dans le sens direct de la Cinématique, c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre, ou encoref de gauche à droite.

INTÉGRALES UOLBLES. I I9

même sens de rolalion que le premier et lel que le plan Z = o soil le plan de la courbe j)lane C. Supposons qu'on intègre sur le côté du plan correspondant à la direction de Taxe QZ; le sens direct sur la courbe C sera alors le sens de OX vers OY, c'est-à-diro le sens positif tel que nous l'avons défini (Ch. III, § 6). Si a'\ V\ (^' désignent les cosinus directeurs de ÛZ, l'intégrale double (17 ) peut s'écrire

J J Woz Oy! \dx ùz] \ôy ôx ) J

d'autre part, les formules de transformation de coordonnées

donnent

X — a\ - - rt'Y -+- a'Z -^/>,

et l'on sait que

c" =^ ab' — ba\ a" — bc' — cb\ b''=ca-^ac'.

Comme cTL = o, Tintégrale curviligne se réduit à

f{aci-\-b^-hc-()d\ -h{a'(z-^b'^-^c'^()dY, qui. d'après une formule démontrée plus haut (§11) est égale à

-//[("^-'7V-4«--("'lx-''S--'£)]^-.

cette intégrale étant étendue à l'aire L. Il faut calculer les dérivées partielles par rapport à X et à Y de a, -î, y, qui sont des fonctions de X. y et z. On aura