àa , OoL , O1 ôa. da , Ox
0\ OX Oy Oz 0\ Ox Oy Oz
et des formules analogues pour ^ et y. Par suite
-[Tz- ÔJ')'' "" U^ " Ozf ^ ^ [oy Ox)'' '
et la formule
est établie, dans le cas où la courbe est plane.
21. Il est aisé maintenant de passer au cas où le contour est quelconque. Tout d'abord on peut réduire ce contour à être un contour polygonal, puisqu'il suffirait d'augmenter indéfiniment le nombre des côtés du polygone pour avoir une courbe quelconque. On peut ensuite parce contour polygonal faire passer une surface polyédrale dont les faces soient des triangles. En appliquant la formule démontrée pour le cas des aires planes à chacun de ces triangles et, ajoutant les résultats obtenus, on aura évidemment la formule cherchée, qui est alors démontrée dans toute sa généralité, et que les géomètres anglais désignent sous le nom de formule de Stokes (').
Une application immédiate de cette formule est la recherche des conditions pour que l'intégrale curviligne
I OL cLr -r- ^ dy -r- ^ dz.
prise le long d'une courbe fermée quelconque, soit nulle, problème tout à fait analogue à celui que nous avons traité dans le cas du plan. Les conditions nécessaires et suffisantes sont
âOL dp
03 ày
ây da.
ày ~~ Ox
àz ~ dy'
dx dz
Si elles sont remplies, l'intégrale curviligne
a</.r -f- p dy — ydz
(') La formule précédente, au moins dans un cas particulier, était connue d'.Vmpère, qui s'en est servi, sous une autre forme, en électromagnétisme.
INTÉGRALRS DOUBLES. J2l
sera une fonction u de jc, y et :;, et Ton aura
du du f. au
22. Pour faire une seconde application de la formule de Stokes, considérons une courbe fermée L et un point M quelconque dv coordonnées a, 6, c dans l'espace. Soit une surface quelconque S limitée par L, et sur laquelle nous considérons deux côtés. Un élément rfo" de celte surface est vu sous un angle égal à
cos(r, n ) - ^1 ^^'
en appelant r la distance du point M à un point P(x, j', z) de
l'élément, et en appelant (r, n) Tan^le fait par la direction P\l avec la direction de la normale en P à la surface. Ainsi compté, cet angle solide est positif ou négatif suivant que l'angle (r, n) esl aigu ou obtus. Or, en désignant par cos a, cos^, cosyles cosinus des angles de la normale avec les axes, nous aurons
cos(/', /i) = cos a H — cos 3 H cos y.
La somme des angles solides pour tous les éléments d<j de S sera donc
(19) '=yj (^"^TT^cosa-f-^^cosp-^- ^-Il^cosYJ^cr.
Ce sera donc une intégrale de surface étendue à S, et elle sera indépendante de S, car on a
ô /a — x\ à ib — y\ , *^ ( c — z\ ôx\ r^ ) "^ à) \ /-^ / "^ tÂ3\ "r» ) ~ ^'
[r*= (x — ap-h (7 — b)^-i-(z — c)2].
On peut dire qu'elle représente l'angle solide (compté avec un signe) sous lequel du point M on voit le contour C.
Cherchons d'abord, avant d'appliquer la formule de Stokes, cjuclle sera la valeur de l'intégrale (19) étendue à une surface fermée. Si le point (a, 6, c) est extérieur à la surface, cette intégrale sera nulle d'après le théorème fondamental (§ 17). Supposons
(ft, h, r , à rinlrrieiir de la surface, et intég^rons sur le côlé in- Icriie de celle-ei. l/intéjjjralc est indépendanle de la surface; prenons donc une sphère de ravon R ayant (/i, 6, c) pourcentre: Tint^'grale devient
ff-
On a donc
résultat Inen simple, mais dont Gauss a tiré d'importantes consé- <|uences, et dont la démonstration géométrique est immédiate.
Revenons maintenant à Tinlégrale I étendue à une surface S limitée par un contour (>. D'après la formule de Stokes, on peut la remplacer par une intégrale cur>iligne prise le long de C. Cette transformation serait compliquée et présenterait peu d'intérêt. Ce qui est au contraire d'une grande utilité dans diverses théories, et en particulier dans réleclromagnélisme, c'est d'exprimer les dérivées partielles de 1, considéré comme fonction de a, b et c, par des intégrales curvilignes. Nous allons v parvenir immédiatement au mo\en de la formule de Slokes.
Prenons, par exemple, la dérivée partielle de 1 par rapport à a. nous aurons
ou JJ[oa[ ,.3- )^^^^»-^,,,(— a^)^^^^?-^^(-7r-j^^^vJ^^- Niius (levons chercher des fondions a, fi, y de x,y, z telles que
Oz Oy ~ Oa ' r^ ' '
J.r Oz Oa \ /*'* /
On O'i c - z
0\- 0.r Oit \ H '
( )r. pniMMis X o : nous devons choisir, s'il est possible, fi et Y ile lii.inière à salisfaire aux équations
Or /•» Ox /•*
l.NTÉGRALKS DOUBLES. 123
et
à? dy I 3(a — 3^)^
Ces équations seront vérifiées si Ton prend
el, par suite, l'intégrale curviligne
— / OL dx -^ ^ dy -\- -f dz
se réduira ici à
r{z — c)dy — (y — h)dz
On trouverait de la même manière
àl r (r — a) dz — ( z — c) dx
01 r^y — h) d.T — Cr — n)dy
hi
Oc J^ /'i
formules d'un grand intérêt dans la théorie du magnétisme (
