L'équation suivante

c)«U on] d^V ,

qu'on peut appeler Véqualion de Laplace, joue dans plusieurs théories un rôle très important, et nous aurons, dans ce Livre même, Toccasion de la rencontrer en étudiant la théorie de Tal- Iraction. Nous allons, comme application des transformations générales faites sur les intégrales multiples, étudier les principales propriétés des fonctions satisfaisant à cette équation.

Une première relation nous sera de suite fournie par l'application du théorème de Green.

Désignons par U et V deux fonctions continues, ainsi que leurs dérivées partielles des deux premiers ordres, dans un volume limité par une ou plusieurs surfaces. La formule de Green nous

donne immédiatement, si U et V satisfont à Féquation de Laplace^

et cette intégrale pourra être une somme d'intégrales prises comme il a été dit plus haut, si le volume envisagé est limité par plusieurs surfaces.

Avant de déduire une conséquence fondamentale de cette formule, faisons quelques remarques :

D'abord, si Ton fait dans la formule précédente U == i, on aura

Ainsi, si une fonction continue V satisfait à Téqualion AV= o, l'intégrale (a), prise pour toute surface fermée, est nulle.

En second lieu, une solution particulière de l'équation de Laplace nous est donnée par

rt, b^ c désignant trois constantes arbitraires; c'est ce qui se vérifi(^ immédiatement.

Enfin, en désignant d'une manière générale par P le point de coordonnées x, >', :;, par A le point (r/, 6, r), et par Vn une droite menée par le point P, cherchons quelle sera la dérivée de

- dans cette direction. On aura

I dr dn " r* dn*

or

par suite,

dr , .dx. M x^y I *^^

'-dn = (^ - «) rf„ + (^ - *>^7r - (" -'^dn '

d'où se conclut

= — cos(r, /i).