ÉQUATION DE LAPLACE
en désignant par (r, /i) l'angle fait par la direction PA avec la direction Pn. On a donc
\ r/ cos(r, n) dn r*
2. Ces remarques faites, soit V une solution quelconque de Téquation AV= o, continue dans un volume limité par une ou plusieurs surfaces S; considérons la fonction
le point A(rt, 6, c) étant à l'intérieur du volume.
La formule (i) n'est pas applicable aux deux fonctions - et V,
puisque la première n'est pas continue dans le volume que nous étudions; mais décrivons autour de A une sphère et envisageons le volume compris dans le volume initial et extérieur à cette sphère S. Nous pourrons alors appliquer la formule (i) qui s'écrira
./ J \r dn
— j V -j— / aJ = o.
r an an
La première intégrale est étendue aux surfaces S limitant le volume, et la seconde à la sphère I. Les dérivées qui figurent dans celle dernière sont prises dans la direction de la normale extérieure a la sphère; si nous les supposons prises sur la normale intérieure à la sphère, nous devrons changer le signe de l'intégrale et écrire
J J \rdn
\ / F / \ - :7^ ^^7 ~ / ' \r dn dn '
La première intégrale ne doit pas dépendre du rayon de la sphère S; elle a une valeur très simple que nous allons calculer. Toul d'abord, r étant constant sur il, le premier terme de cette intégrale esl égal à
et par suite est nul, d'après ce que nous avons dit (§ 1 ).
44 ÉQUATIO!<¥ DE LAPLAGE. — DÉVELOPPEMENTS EX SÉRIES.
Le premier membre de (3) se réduit donc à
puisque, sur la sphère, cos(/', n) = i .
Soient, d'autre part, sur la sphère S de rayon r, M et m le maximum et le minimum de la fonction, l'intégrale double
Vé/j
sera comprise entre M.^'nr^ et m.^izr'^. L'intégrale (4) sera donc comprise entre
Mais le rayon /• est arbitraire et peut tendre vers zéro; M et m diffèrent donc aussi peu qu'on veut de V(«, 6, c), et l'expression (4), d'ailleurs indépendante du rayon de la sphère S, a pour valeur
ce qui nous conduit à la formule fondamentale
•'<-''-^-iiJ j^A-'r'S;)''-
qui fait connaître la valeur de V en un point quelconque (a, b^ c)
de l'intérieur du volume, en fonction des valeurs de V et de -j- à
' an
la surface.
On peut donner une formule analogue pour le cas où la fonction V satisferait à l'équation de Laplace en dehors de la surface S; mais, ici, il est nécessaire de faire une hypothèse sur la manière dont V et ses dérivées du premier ordre se comportent à l'infîni. Nous supposerons que, pour (j*, ^'; ^) très grand, on ait
M désignant un nombre fixe.
ôx
dv]
ôz
