ÉQUATION DE LAPLACE

Ceci posé, décrivons, de l'origine comme centre, une sphère S' de rayon très grand R : le point A sera compris entre la surface S et cette sphère; nous considérons toujours la sphère S de rayon r, ayant pour centre A. Appliquons la formule de Green à l'espace limité par les surfaces S, S et S'. Faisant de suite tendre r vers zéro, nous aurons, en raisonnant comme plus haut,

^ ~~ 4^^ J J \ dn r dn J \'^ J J \ dn r

La seconde intégrale est égale à zéro. En effet, elle peut s'écrire, en employant sur la sphère S' les coordonnées polaires 8 et J^,

R . . . dS

Or - est très voisin de Funité, V tend vers zéro et -j-* 21 "ne /• ' dn

valeur absolue moindre que -07* Cette intégrale est donc moindre

en valeur absolue qu'une quantité donnée quelconque, quand le rayon R augmente indéfiniment. Or elle a une valeur indépendante de R : elle est rigoureusement nulle. Nous avons donc la formule

^'~Uj J V5H-

les dérivées étant ici prises sur la normale extérieure à la surface.

3. Appliquons la formule (5) au cas très particulier où la surface S se réduit à une sphère S, de centre (a, 6, c) et de rayon R; elle se réduira, d'après le calcul fait plus haut, à

Nous allons en tirer avec Gauss un théorème de la plus haute importance :

Une fonction y{Xyy^z) continue dans le voisinage d'un p. — I. 10

l40 ÉQUATION DK LAFL.iCE. - DÉVCLOPPEXEXTS E.\ SËU£«.

point i(i. //, <:)ot satisffiisfint. n i*t'tju<itinn

AV - o

ne peut avoir nu point (a. /y, e ) ni maximum ni minimum.

Supposons en efH'l r|ii<; la fonrtlon V possède en ce point ud maximum ; en prenant \\ assez petit, on aura, pour tout point de

la sphère £,

eettc inégalité excluant Tégalité, d'où nous concluons, en mulfcipliant par , . ■ et intégrant.

inégalité absurde, puis<pie les deux membres sont précisemexit égaux.

On démontrerait de la même manière <pie la fonction V(jr, v- z i ne peut avoir de minimum.

\. Une conséquence immédiate de l*impossibilitëd*un maximum ou d'un minimum eiit le ibéorènie suivant :

// ne peut exister deux fonctions V, satisfaisant à Véquaiion de Laplfuw f continues ainsi f/ue leurs dérii'ées partielles des deux premiers ordres u C intérieur d"* une surface, et prenant sur cette surface les m^Uiies valeurs.

Supposons en eH'**! qu'il «'xiste deux telles fonctions, leur différence W satisfera à Té^piatioii

et s^annulera sur la surface. Klle devrait donc avoir à rinlérieur soit un maximum, soit \ï\\ minimum, ce qui est en contradiction avec le théorème que nous venons d'établir. W doit donc être identi(|uemcnt nulle, c'est-à-dire que les deux fonctions considérées sont identi(|ues.

On peut démontrer, dr la même manière, qu'il ne peut exister deux fonctions V continues à l'extérieur d'une surface fermée S, tendant vers zéro quand h* p(nnl(.r,y, -;; s'éloigne à Tinfini d'une manière quelconque, et prenant la même succession de valeurs

ÉQUATION DR LaPLAGE. 1^7

sur la surface S. En eflel, leur différence, s'annulant sur la surface et à rindni, de\Tail avoir quelque part un maximum ou un minimum.

On voit le problème que suggère le théorème précédent : Si l'on se donne, sur une surface fermée S, une succession continue de valeurs associées chacune à un point de la surface, il ne peut exister qu'une seule fonction continue à Tinlérieur de S, satisfaisant à Téquation de Laplace, et prenant sur la surface S les valeurs données. Cette solution existe-t-elle toujours, et comment peut-on la déterminer?

C*est là un problème célèbre, désigné souvent sous le nom de problème ou principe de Dirichlet, et dont nous allons maintenant nous occuper. La formule fondamentale (5) n'en donne pas la solution, puisque sous le signe d'intégration se trouve, non

seulement V, mais aussi la dérivée -j-; nous sommes assuré que les

valeurs de ces deux expressions sur la surface sont liées les unes aux autres, mais nous ne pouvons que concevoir cette dépendance. Il y a un cas cependant où un artifice permet d'éliminer la

dérivée -r-'y nous allons l'approfondir.