Il nous faut traiter maintenant la question inverse

En supposant que la fonction V sous le signe somme soit une fonction continue V(6, i) des angles 6 et i^ qui fixent la position d'un point sur la sphère, les formules (6) ou (7) représentent une fonction des coordonnées a, &, c du point A. Représentent-elles une fonction de a^ &, c satisfaisant ù l'équation

oa-i- ' db^ ' Oc^ ^'

cl prenant la valeur V(6, i), quand le point A se rapproche du point de la sphère correspondant aux coordonnées polaires et «i?

Il en est bien ainsi, comme nous allons l'établir.

Tout d*abord, la fonction V(a, b, c) définie par la formule (6)

l5o ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEXENTS EN SÉRIES.

satisfait à l'équation de Laplace. Cela résulte îmmédiatemenl de ce que

considérée comme fonction de f/, &, c, vérifie celte équation. Le calcul ne présente aucune difficulté, si Ton ne perd pas de vue les trois relations

La dérivée seconde de l'expression précédente par rapport à a est égale à

KH*— /*) ï5(R»— /«)(ct— .r)« 3i iiaia^x)

et l'on a des expressions analogues pour les deux autres dérivées

partielles; la somme de ces trois dérivées est identiquement nulle,

car

La démonstration du second point est plus délicate. Nous allons suivre une marche analogue à celle que suit M. Schwarz dans le cas de Téquation de Laplace avec deux variables (*).

7. Commençons par une remarque préliminaire. Si la fonction donnée V(0, A) se réduit à une constante, l'unité, par exemple, il y aura certainement une fonction V satisfaisant à l'équation de Laplace et devenant égale à un en tous les points de la sphère : ce sera la fonction V(e7, f^, r) = i. D'autre part, cette fonction doit être donnée par la formule (7); on en conclut que

quel que soit le point (rt, &, c) à Tintérieur de la sphère.

Ceci posé, soit A' le point où le ravon OA rencontre la sphère;

C) ScuwARZ, Journal de Crelie, l. 74.

ÉQUATION DE LAPLACE. l5l

du point A' comme pôle, je décris un petit cercle correspondant à Tare trigonométrique 8. Ce petit cercle divise la sphère en deux calottes c et C, dont Tune, c, comprend le point A'. Partageons rintégrale (7) en deux parties : Tune relative à la calotte c, l'autre à la calotte C. Puisque la fonction V (6, i) est continue, on pourra, étant donne à l'avance un nombre e, aussi petit qu'on voudra, choisir 3 assez petit pour que la différence des valeurs de V(8, A) correspondant à deux points quelconques situés sur la calotte c soit inférieure en valeur absolue à e.

Prenons maintenant sur la sphère un point fixe P, tel que l'arc PA' soit moindre que 0. J'écris l'intégrale (7), en désignant par Vp la valeur de V(8, '}) au point P, sous la forme

Vp r r (R»— /M ^g » /* r (R* — /*)<

'^^J J (R»--2/RcosY + /*)^^'^''V y (R«-2/R

le premier terme se réduira à Vp d'après la remarque faite précédemment ; nous allons chercher une limite supérieure de la valeur absolue du second.

Partageons ce second terme en deux parties, le champ d'intégration étant, pour Tune, la calotte c, pour l'autre, la calotte G. Puisque sur la calotte c on a | V — Vp] <]^e, la première partie a une valeur absolue inférieure à l'intégrale

(R*— 2/RcosYH-/î)«

étendue à c, et, à plus forte raison, inférieure à cette intégrale étendue à la sphère entière; elle est donc moindre que e en valeur absolue.

Passons à la seconde partie; on aura, quand M est sur la calotte C,

R«— 2/R COSY -^ ^* > 2/ R(i — coso),

puisque cosy <C coso. Si nous désignons par g le maximum de la valeur absolue de V(6, ^j^), notre seconde partie aura donc une valeur absolue moindre que

^ — ^--^^ ffd.

moindre, par coD<9€qaeDt. qoe

Or, on peut prendre /suffisamment voisin de R pour que ce terme M>it an^si voisin de zéro qu'on voudra : il en résulte que. quand le point A. â l'intérieur de la sphr-re. tend d'une manière quelconque vers le point P. la fonction Vi «a. fe, c » tend vers Vp. On a. en effet, iïz\}th^ ce qui précède,