VA 1 / ^^R<R

[2/ Ri I — cos5»]*

t est donné â l'avance aussi petit qu'on veut et / est très voisin de H.

I^ problème de Dirichlei est donc complètement résolu pour le cas de la sphère; on peut se donner arbitrairement la fonction V sur la surface y en la supposant seulement fonction continue des paramètres h et i. La formule (7) donne Finlégrale de Téquation de Laplace, continue à rinlërieur, et prenant les valeurs

indiquées sur la surface.

K. Avant de passer à un cas plus général, démontrons un théorème d^une application fréquente et qui se déduit immédiatement de la formule (6) :

Si une fonction V(x, y^ z) satisfaisant à r équation de Laplace est continue pour toute valeur finie de j:, y et 5, et si sa valeur absolue est, quelles que soient les valeurs de ces variables, inférieure à un nombre fixe M, cette fonction doit se réduire à une constante.

De Torigine cromme centre, avec un rajonR, décrivons une sphère et a|)pii(|uons la formule (6) pour Torigine O et le point inléri(îur A, nous avons Vq et V^^ désignant les valeurs de V en O et A,

ÉQUATION DE LAPLACE. l53

et, par suite,

,7C ^ÎTC

Or, supposons que le rayon de R soit très grand, on a toujours, par hypothèse, | V | <! M; mais - sera évidemment très voisin de

l'unité pour tous les points de la sphère, puisque le point A reste

fixe. La fraction

sera donc aussi très voisine de Tunité. Il en résulte que la différence

Vq — V^ a une valeur absolue moindre que toute quantité donnée ;

or, c'est une quantité fixe : elle est donc rigoureusement nulle. On

a ainsi

Va = Vo.

La fonction V en un point arbitraire A a la même valeur qu'à Torigine; elle est constante, comme nous voulions l'établir.