III. — Sur une généralisation de l'intégrale de Gauss
9. Dans un Chapitre précédent (Chap. IV, § 22), nous avons considéré l'intégrale de Gauss
étendue à une surface fermée, r désignant la distance d'un point fixe A à un point M de l'élément variable e/o- de la surface, et l'angle (r, /i), que nous désignerons maintenant par cp, représentant l'angle
de la direction MA avec la normale intérieure à la surface au point M. Nous avons démontré que celte intégrale était égale k /\t. quand le point A était intérieur à la surface, et égale à zéro quand il est extérieur. Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons que la surface donnée S est une surface convexe, ayant en chaque point un plan tangent déterminé : c'est le cas pour lequel nous traiterons, dans la Section suivante, le problème général de Dirichlel ;
154 Ér^UATIOX DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EX SÉIIES.
ros^ frsl alor-i loujours positif quand 1»^ point est à rintérieur ou sur la surfaof.
Dans CCS ronditions, nous vovons de suite quelle sera la valeur tir rint«!*j:rale ^8^ en tout point de la surface. Elle est' égale à 2t, puisqu'elle représente la >onime des f»uverlures, évaluées sur la >pliêre de ravon un, des angles solides sous lesquels, du point A, on voit les éléments d^ sur la surface. Celte somme correspondra donc îi une demi-sphère, quand le point est sur la surface, c'esl-à-dire à 'AT.. L'intégrale de Gauss, considérée comme fonction des coordonnées (a^OjC) du point A, est donc une fmction discontinue de (/7, h, c)j quand A traverse la surface. Elle est égale à ii:^ quand le point est à l'intérieur, égale à 27:, quand il est sur la surface, et à zéro, quand il est à Textérieur.
Envisageons maintenant, d'une manière plus générale, l'intégrale
X' / , ce •A'^OS^
où [X désigne une fonction continue des paramètres qui fixent la position d'un point sur la surface S. Cette intégrale V, considérée <-omme fonction de (a, t, c) est une fonction continue, ainsi que ses dérivées partielles, quand le point A est à l'intérieur ou à Fextérieur de la surface; elle éprouvera une discontinuité pour le passage par la surface. Pour étudier celle discontinuité, je prends un |)oinl iix(î s sur la surface S, el, désignant par [jl, la valeur de [x en <'e point, j(! forme la dilFércînce
(|ui peut encore s'écrire
Montrons que la fonction W est une fonction continue de (a, h, r) dans r espace aK'oisinant le point s.
Décrivons, à cet effet, de s comme centre, une sphère de rayon p, <p]i découpe sur la surface une courbe yî on peut prendre p assez petit pour que la différence [jl — [x, soit, en valeur absolue, moindre <|ue £, quand le point de la surface, pour lequel on prend la valeur
ÉQUATION DK L.iPLACE. 1 55
de [JL, est intérieur à y. Partageons alors l'intégrale en deux parties, l'une relative à Taire intérieure à y, Tautre à Taire extérieure. La première intégrale sera, en valeur absolue, moindre que /i'^t, quelle que soit la position de A dans Tespace. Quant à la seconde intégrale, elle est une fonction continue de (a, 6, c), pourvu que ce point, quand il est dans le voisinage de la surface, reste à une distance de s inférieure à p. On peut donc trouver un rajon p' •< p tel que, à Tintérieur d^une sphère ajant s pour centre et p' pour rajon, la différence des valeurs que prend W en deux points quelconques soit moindre que e; ce qui démontre la continuité de la fonction dans le voisinage de S.
Ce point établi, nous avons à distinguer : i** la valeur de V au points, nous la désignerons par V,; 2° la limite de V(a, 6, r) quand A tend vers s en étant à Tintérieur de la surface, nous Tappellcrons V/, ; 3** la limite de V(rt, 6, c) quand A tend vers s en étani à l'extérieur de la surface, nous la représenterons par V<.,. Le théorème précédent nous fournit immédiatement deux relations entre Vj, V|,, Yes' La fonction W étant continue, nous avons l'égalité
qui exprime que la limite des valeurs de W(<7, 6, c), quand A tend vers s en étant à Tintérieur de la surface, est égale à sa valeur au point s. Pareillement, nous aurons
y es = Vjf — iT^i'-s •
Ainsi, on a les deux formules très importantes
10. Voici maintenant une remarque qui nous sera très utile dans un moment.
Partageons la surface S en deux parties a et p, et soient s et s deux points quelconques de la surface; nous désignerons d'une manière générale par IJ l'intégrale
•Hf'-^"'-
relative au point 5, et étendue à une portion v de la surface S
MoDtroD% qo€r
'9 -ip-ir»
^%l fO0ipri*e entre l'unité et a. V dt^jcnant un nombre positif 6\e iriférienr â «//i. Sup[io?on< d'abord que s et / aient des position» déterniifi*^es sur la surface.
En premier lieu, la «omme • q • est inférieure ou au plus égale à l'unité, car
Kn second lieu, pour montrer que cette somme est supérieure â une certaine limite positive diJTérenie de zéro, décrivons de 5 et ir' comme centres, av«.'c un |>etit ravon s, des sphères découpant sur la surface deux aires 1 et ^ autour de 5 et /. Dans toute la portion de Taire a extérieure à S, la quantité toujours positive cos^, dans rinté;rrale If. re>lera supérieure à un nombre m et la di^tanc r ^era inférieure à la longueur D.
f>n aura donc
m* JL — Si
'/ désignant Taire de la partie a. et S Taire de la portion S. De la même manière
en désignant par m cl I) les niinima et maxime correspondant as' et Ji; nous pouvons, bien entendu, prendre les mêmes valeurs pour /// et IJ dans Tune cl Taulre inégalité. Par suite,
S désignant Taire totale de la surface. La somme (9), qui est inférieure ou au plus égale à Tunilé, ne descend donc pas au-dessouç d'un(î certaine limite.
Quand s vX s' se (léjïlacenl sur la surface, celle limite inférieure a certainement un minimum ; nous le désignons par )^, et il est manifestement compris entre >sé/*o et un. Il existe donc un nombre
ÉQUATION DB LAPLACE. l^J
\{X <; i), tel que Ton ait
quelles que soient les positions de s et s' sur la sur/ace.
M. La remarque précédente va nous permettre d'approfondir Télude de l'intégrale
prise pour un point s de la surface S.
Désignons par M et m le maximum et le minimum de [x, et partageons la surface en deux régions a et P, telles que, dans la première, la valeur de la fonction [x reste comprise entre M et ,
et soit comprise, dans la seconde, entre m et : ces régions
pourront se composer de portions séparées. On aura évidemment
inégalités qui pourront encore s'écrire, puisque 1^^-1-1^= 27c,
v,<M l^Lz^ If,
aTZ
Prenons maintenant un autre point St sur la surface S ; on aura pareillement
V,,>mH- ^l^^-ll'l?.
Donc, en retranchant membre à membre la seconde des inégalités (1 1) de la première des inégalités (10),
l58 ÉQIATION DE LAPLACE. — DÉVBLOPPBSB?ITS E?l SÉRIES.
et, par suite, en introduisant la quantité A du paragraphe précédent,
ou enfin, en posant i — \-= z, on a, quelles que soient les posi^ lions des points s et Si sur la surface ^
p désignant un nombre positif Jixe plus petit que r unité.
Cet important théorème est dû à M. Neumann (•) qui en a fait la base de sa méthode de la moyenne arithmétique pour la solution du principe de Dirichlet. Nous nous sommes borné au cas où la surface convexe a, en chaque point, un plan tangent; Féminent géomètre se place dans des circonstances un peu plus générales, qu'il serait trop long d'examiner ici (^).
Voici une consécjuence immédiate de l'inégalité (la) : si M| el /;?, désignent le maximum et le minimum de V, sur S, on aura
