ÉQUATION DE LAPLACE. I

de Kirchhoff n'est pas différente de celle de M. Neumann : nous l'exposerons, en la rattachant à rinégalilc fondamentale de ce savant auteur.

Soit une fonction continue U définie sur la surface convexe S ; en désig;nant toujours par U, la valeur d'une fonction U au point 5, je forme l'intégrale

Ui(a,6,c) =.- ^^yy^(U - u,) d^.

Cette intégrale représente, comme nous l'avons vu (§ 9), une fonction continue de a^ b^ c k l'extérieur et à l'intérieur de s, dans l'espace avoisinant le points. Lorsque le point (a, t, c) est au points, elle a une valeur déterminée Uj. L'ensemble de ces valeurs, quand le point s se déplace sur la surface S, définit une fonction U* sur cette surface.

Formons de même l'intégrale

U.(«,A,c) = -^jyH^^(U'-UJ)rf,,

qui permettra de définir une nouvelle fonction U^ sur S, au moyen des valeurs telles que U* ; et ainsi de suite, ayant, d'une manière générale,

intégrale au moyen de laquelle on formera U^, et on définira U" sur la surface S,

Soient M et m le maximum et le minimum de U, M;, et /n„ Jes maxima et minima des U"; on aura (§ H), puisque U — U, est compris entre 2 M et 2/?i,

Ml — /?ii<(M — /w)p,

et, par suite, de proche en proche

Ma— //i/»<(M — m)p«.

13. Ce point établi, cherchons une limite pour les fonctions U elles-mêmes. Nous avons vu précédemment (§ 9), que U^ est la limite vers laquelle tend l'intégrale

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l6o ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

quand le polnl (a, b, c), supposé extérieur à la surface S, se rapproche in défi ni m en l du point s.

Or, si nous envisageons cette intégrale pour un point extérieur E, il est facile de trouver pour sa valeur absolue une limite supérieure. En eflTet, considérons le cône circonscrit à la surface avant pour sommet E ; la courbe de contact partage la surface en deux parties. Pour Tune, cosy est positif, et, pour Tautre, il est négatif. D'ailleurs les intégrales

étendues à Tune et l'autre, sont égales, au signe près. Leur valeur absolue représente Tangle solide û sous lequel, du point E, on voit la surface. Si donc nous appelons toujours Mn.i eim„t le maximum cl le minimum de U"~*, Tintégrale

I /• r cos© ,, , ,

prise pour le point extérieur E, aura une valeur absolue moindre que

car, pour trouver ces valeurs extrêmes, nous prenons le maximum de U''~* dans la région où coscp est négatif, et son minimum dans la région ou il est positif. Quand E tend vers 5, û tend vers 27t. Nous avons donc

et, par conséquent, d'après Tinégalité du § 12, De là se tire la conséquence suivante : la série

U-t-Ul-4-U«-h...-r-U'»-i-...

est corwergente sur la surface S.

Ses termes sont moindres, en effet, en valeur absolue que ceux d'une progression géométrique décroissante.

ÉQCATION DE LAPLACE. l6l

14. Nous sommes maintenant en mesure de résoudre le problème de Dirichlet, pour une surface convexe S. Soit U la fonction faisant connaître la succession des valeurs que doit prendre, sur S, rintégrale V de l'équation de Laplace. Nous formons, comme plus haut, la série

Nous allons établir que ^intégrale

résout le problème de Dirichlet, cest-à-dire qu^elle satisfait à r équation de Laplace et que \{a^b^c) tend vers U,, quand le point (a, b, c) intérieur à S tend vers le point s de cette surface.

Le premier point est évident. Pour démontrer le second, formons la différence

en adoptant les notations du § 9 : on aura

V/, - V„ = -h U, -h Ui 4- U| -+-. . .-+- U«-i-. . . .

Or, nous voulons établir que V|, ^ U, ; il faut donc montrer

<]ue

V,, = Ui-+-U,?-t-...-4-Uj»-+-.. .

Nous avons vu que l'on peut écrire

l'intégrale étant prise pour un point infiniment voisin de s en dehors de la surface : il en résulte que

l'intégrale étant prise dans les mêmes conditions, égalité qui revient à

U i 4- U ; -h U 1 H- . . . -+- U ? -4- . . . = - v<,„ p.-i. Il

fG2 ÉQCÀTI05 DE LAPLACE. — DÊYELOPPEXENTS E!f SÉIIES.

comme il fallait le démontrer. Nous aidons donc

in fonction V(«, 6, c) tend vers IJsÇUfind le point (a, 6, c) iend vers s y en restant à V intérieur de la surface.

\\\. Le problème de Dirichlet est ainsi complètement résolu pour le cas d'une surface convexe. Diverses méthodes permettent, dans des cas étendus, de passer d'un contour convexe à un contour plus compliqué ; nous aurons Toccasion de les étudier dans la théorie des équations aux dérivées partielles.

Dans ces derniers temps, M. Poincaré a donné une remarquable méthode pour traiter le problème de Dirichlet. Cette méthode très générale suppose seulement que le plan tangent à la surface (Ml chaque point soit déterminé, sauf en un nombre limité de points coniques ordinaires [American Journal of Mat hématies, t. Xll).

ATTRACTION ET POTENTIEL. l63