I. — Définitions et premières propriétés du potentiel

1. Nous ferons une dernière application des notions relatives aux intégrales multiples, en étudiant les propositions les plus simples de la théorie de l'attraction. Nous n'avons pas à expliquer ici comment, dans un corps attirant, on suppose la matière répartie d'une manière continue, de telle sorte que la densité p soit une fonction continue des coordonnées (a,6, c) d'un point variable de la masse attirante. Les trois composantes X, Y, Z de l'altraction exercée sur un point de coordonnées (^^^S-s) sont alors

(b -^X)pdv pi

(c — z)p dv

où r'^z=(x — ay 4- (7 — by -\-{z — cy et dç = da db dc^ ces intégrales triples étant étendues à la masse attirante. X, Y, Z sont à regarder comme des fonctions de Xy y^ z. Nous allons démontrer qu'elles sont les dérivées partielles par rapport à x^ y^ z d'une même fonction représentée par l'intégrale

(0 n.,y,.)=JJJî^^

étendue à la masse attirante et à laquelle on donne le nom de potentiel.

l64 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÊTELOPPEUENTS EN SÉRIES.

2. Supposons d'abord que le point soil à l'exlérieur des niasses attirantes. X, Y, Z sont alors des fonctions continues de x^ y^ z, et les relations

' dx ùy i)z

sont une conséquence immédiate de Tidentité

ôx r'

et des identités analogues relatives b^y ti z.

Remarquons de suite que V(jr,^', z) et ses dérivées partielles -r-» — > j7 tendent vers zéro quand le point {jc^y^ z) s éloigne a rinfini d'une manière quelconque. Ecrivons V sous la forme

Quand (x^y^ z) s'éloigne à l'infini, — a l'unité pour limite ; on a

donc

lim VR = f f fp da db de = M,

M désignant la masse attirante. La fonction V devient donc nulle comme ^« De la même manière on écrira

Or - tend vers l'unité, - - reste inférieur à l'unité en valeur abr r

solue; par suite on aura, en supposant que le point (x^y^z)

s'éloigne à l'infini dans une direction faisant avec les axes des

angles (a, p, y),

lin.(R«g)=-M et deux formules analogues pour t- et t^-

cosa,

On dit quelquefois qa'an*? foacti-iîi \ -^c r<^^ i-rri-r-e-? ii -crmier ordre s*annoIeiit à rinâni comai»» id, L»::-:iii:t. ?: ■:\'t< >:::'.

respectivement 7 pour R très aran^i- i*! . :r*irf le p -'': i- — . •

Passons aux dérÎTées secondes : n i

«r* /-.s j-i en effet.

et en faisant la somme AV on obtient zéro ii'rntijU'em'rnv.

On n*oub]Iera pas qae. dan?^ t.^y *:àUzuU, le f *>ict -r. i . z t>t supposé extérieur aux masses attirante 5. L#r> oj-rritjv'ns que n»>u> avons faites ne seraient plus l»^;ritimr?. â «lati^e «Je? trlr-ments devenant infinis, si le point était inbf rieur.

3. C'est ce cas que nous allons maintenant examiner. Le point A(x,^, >s) est donc à Tintérieur de la ma>5e attirante. <Jn s'assure d'abord immédiatement que \ , \. Y. Z n'en ont jms moins un sens parfaitement déterminé. Il suftit. en etTet. de faire usai:e des coordonnées polaires < r, S, y . en posant

a = x — rsioOcosi. b=y — rsinOsin-l-. c — z — rco<h:

alors

dir = r* sin dr dh dl,

et les éléments restent finis dans \ , X, V, Z pour r ^- o : de plus, ces fonctions sont des fonctions continues dans tout l'espace.

Nous allons montrer que les relations (2) subsistent. Concevons autour de A un petit volume. Les masses attirantes sont alors partagées en deux parties, Tune un intérieure à ce petit volume, l'autre deux extérieure et dont nous désignerons respectivement les potentiels par V| et V2. On aura

V = V|-r-Vj et aussi \ — Xi-r-Xj.

en décomposant la composante X en deux parties, Tune X, relative à la masse un et l'autre X, relative à la masse deux.

On prend, dans le volume un, un second point A' de coordon-

l66 ÉQUATION DB LAPLACE. — DÉYBLOPPEXENTS EN SÉRIES.

nées (x -}- Ax^yj z) ; soienl V, V',, V^ les valeurs du potentiel relatif à A' pour le volume tolal et les volumes un et deux. Nous avons

V— V ^ y; - Vt ^ y; —y.

Or lim— î-r — - = X2, quand Ax tend vers zéro. Etudions le quo-

tient

En désignant par /• et z'' les distances d'un point variable du volume un à A et A', on a

et comme

J (i 1) I < J, < 1 (1 + ..', ) , car I r'- r |< I Ar I ,

\x il s^cnsuit que

Ar Or

< z SIS ^# * \ sss ^^

f If ^^,- ^ffjp sine rfrrfO d^ < 4-0, d

Pi désignant une limite supérieure de la densité autour de A, et d la distance mas.ima de A à la surface limitant le volume un. Si donc D désigne la plus grande corde de cette surface, on aura