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et Ton peut prendre le volume un assez petit pour que D soit inférieur à toute quantité donnée. D'autre part, si ce volume est assez petit, X2 diffère de X d'aussi peu qu'on veut. Donc

a une limite, et cette limite est X. Les relations

subsistent donc pour le point intérieur (*).

4. Nous avons vu que la fonction V et ses dérivées partielles du premier ordre sont continues pour toute valeur de x^ y gV z\ il n'en est pas de même pour les dérivées du second ordre. Pour approfondir la nature de ces dérivées partielles, nous allons effectuer sur les dérivées du premier ordre la transformation employée; par Riemann (Schwere, Electricitât und Magnetismus, Hannover, 1880).

Les dérivées du second ordre sont évidemment continues pour l'espace extérieur aux masses attirantes. Montrons qu'il en est de même à l'intérieur; c'est pour la surface de séparation seulement qu'il y aura une différence, au point de vue de la continuité, entre les dérivées du premier et du second ordre.

D'après ce que nous avons établi au paragraphe précédent,

da db de.

Décomposons le volume des masses attirantes en deux parties : l'un comprenant à son intérieur le point (jr,j', 5) et n'ayant aucun point commun avec la surface de séparation, l'autre formée du reste du volume.

Soient V| le potentiel dû à la première partie et V2 celui qui est dû à la seconde partie.

Vj et toutes ses dérivées partielles seront des fonctions continues de x^y^ z] nous n'avons donc à nous occuper que de V|. Nous supposerons que p ait des dérivées partielles du premier ordre par rapport à a, 6, c, à l'intérieur du volume des masses attirantes. Nous ne faisons aucune hypothèse à cet égard pour la surface même; c'est pourquoi nous avons fait la décomposition des volumes un et deux» En intégrant par parties, on pourra

(*) Cette démonstration est due à M. Bouquet.

l68 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

écrire

a désignanl l'angle de la normale intérieure avec Taxe des x.

L'intégrale double est étendue à la surface S limitant le volume urif et l'intégrale triple à ce volume lui-même. Sous cette forme,

on voit que -r^ aura des dérivées partielles du premier ordre,

puisque l'intégrale triple, qui figure dans son expression, est un potentiel, la distribution de la matière correspondant seulement à

la densité -^ au lieu de correspondre à la densité p. Il en résulte

que les dérivées secondes de la fonction \{x^y^z) sont continues à V intérieur des masses attirantes. Nous allons voir dans un moment qu'elles sont discontinues pour le passage à la surface de séparation.

II. — Formule de Poisson. — Propriétés caractéristiques du potentiel. — Attraction d'un ellipsoïde.

5. Nous avons vu que, pour un point extérieur aux masses attirantes, on a

AV = o.

Si le point est intérieur, on a, p étant la densité au point (-c, J^, ^) pour lequel on prend le potentiel,