AV

formule célèbre due à Poisson, et que nous nous proposons maintenant d'établir.

Reprenons le potentiel V| du § 4; on a

AV = AVi,

puisque AVj = o, le point ( j:, y, z) étant extérieur au volume auquel se rapporte le potentiel Vj. Or

par suite,

^=J J 'à^'''"^'-^J J J àira

da db de y

la seconde inlégrale ayant un sens parfaitement déterminé. On peut encore écrire, en remarquant que T" =~ J"'

Sr—J J Pï;""<''-J J J ^Ta

da db dcj

et, par suite,

^''"-ff4-'-in{t'à-ïà*ï'h'"-"""-

Or, appliquons la formule préliminaire de Green (§ 10, Chap. V) au volume limité par la surface Y, du volume un, qui ne contient aucun point de la surface de séparation, et par une petite sphère aayant pour centre le point {oc, y^z)', il viendra

I I I ( ^? ^ àp r dp r \

J J J \àâ diâ'^db'db^ Te le J

da db de

puisque - satisfait à Téquation de Laplace.

La première intégrale double est étendue à la surface ï et la ¥tC' conde à la sphère a-; dans cette dernière, la direction de la normale correspond à Textérieur de la sphère. Mais nous avons déjà calculé cette dernière intégrale : on a

r r di

lim j J p-j^di^— \7:p(x,y,z)

quand le rajon de la sphère 7 tend ver* /.éro.

Revenant donc à l'expression de AV| , nous voyons que

el, par suite,

AV=-4t:P,

p étant la densité au point (x, /, z) pour lequel on prend le potentiel.

6. Du théorème précédent, on peut conclure la valeur trou- \?ée par Gauss de V intégrale

étendue à une surface fermée quelconque S, la dérivée -r- étant

prise vers l'extérieur de la surface.

Supposons d'abord que le volume limité par cette surface fermée soit tout entier à l'intérieur des masses attirantes. Les dérivées secondes étant continues, on peut appliquer la formule de Green, qui donne

et, par suite,

M étant la portion des masses contenues à l'intérieur de S.

Cette formule est générale à cause de la continuité des dérivées du premier ordre et de ce fait que l'intégrale

(in

ne change pas de valeur quand la surface S d'intégration se déforme sans rencontrer de masses attirantes.

Pour le montrer bien nettement, supposons d'abord que la surface S, limitant toujours un volume intérieur aux masses attirantes, ait une ou plusieurs parties communes avec la surface de séparation. * La formule subsiste, car, à cause de la continuité, on peut remplacer ces parties communes par une surface intérieure infiniment voisine.

Dans le cas général, que la surface soit extérieure aux masses

atlirantes ou les coupe, on peut, sans changer la valeur de Pinlégrale, remplacer les portions de S extérieures par les portions de surfaces qu'elles découpent sur la surface de séparation ; et l'on est ramené alors au cas précédent.

7. La formule de Poisson montre que, en général, les dérivées secondes seront discontinues pour le passage par la surface de séparation, puisque AV passe brusquement de la valeur zéro à la valeur — 4'ï^p« Nous allons vérifier ce résultat dans le cas particulier d'une sphère homogène. Soit une sphère homogène de centre O et de rajon R. Calculons le potentiel dû à son attraction sur un point A placé à une distance a du centre. Désignons par M un point quelconque de la sphère à la distance r du centre; soient MOA = 0,

u ^ AM, et à l'angle fait par l'azimut MOA avec un plan fixe quelconque passant par OA. Un élément de surface rdrM dan» le plan MOA, en tournant autour de OA, engendre un anneau dont le potentiel sur A est

Nous devons donc calculer l'intégrale double

Or,

m' — a' — r' — 2ar cosO;

par suite, quand /* reste constant,

iin^dh du u ar

Nous aurons donc l'intégrale

V=^^i r rdrfdu.

Je n'ai pas écrit les limites pour u. Nous avons, en eflTet, pour le# fixer, besoin de distinguer le cas où le priint est intérieur de celui où il est extérieur.

Soit d'abord le point extérieur. Four une valeur de r, u s%fw.ré

17a ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

entre a — r et a -j- r; donc

/ du =z ir,

«»t le potentiel sera alors égal à ^^ — •

. Il est donc le même que si la masse attirante était concentrée au centre de la sphère.

Si le point est intérieur, nous séparerons la masse attirante en deux parties : Tune^ intérieure, l'autre extérieure à la sphère de ra;)on OA. Pour la partie intérieure, le calcul est le m^me que plus haut, et l'on a ^irp«^ pour valeur correspondante du potentiel. Pour la partie extérieure, 11 varie entre /• — a et /• -h «, ce qui donne le potentiel 27co(R2 — a^). Donc, additionnant,

INous avons ainsi pour le potentiel deux expressions analvtiques dilVérentcs. On a, en désignant par ^, ^', z les coordonnées de A, le centre de la sphère étant Torigine,

(yt .'. V* -4- ^*\

(juand le point (ar, y^ z) est à l'intérieur, et

quand il est à l'extérieur. Les expressions et leurs dérivées partielles du premier ordre prennent respectivement les mêmes valeurs sur la sphère de rayon R; il n'en est pas de même pour les dérivées partielles du second ordre.

8. Résumons les propriétés générales du potentiel \[x^y^ 5), établies jusqu'ici. C'est une fonction continue dans tout l'espace, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre. Les dérivées secondes sont continues à l'intérieur et à l'extérieur des masses attirantes; la surface de séparation du milieu extérieur et des

masses altiranles sera pour elles une surface de discontinuités. Nous

avons en outre

à l'exlérieur, et

AV= — 47:p

à rintérieur des masses attirantes. De plus, V(j:, ^, z) tend vers zéro quand le point {^,y,z) s'éloigne à Finfini d'une manière quelconque.

Nous allons établir maintenant que ces propriétés sont caractéristiques du potentiel. On suppose donc donnés un ou plusieurs volumes v et une fonction V(j:, j', z) satisfaisant à toutes les conditions précédentes; p est une fonction également donnée de (x, j-, .5) à l'intérieur de chaque volume. Montrons que :

V représentera nécessairement le potentiel en {jr,y, z) dû à l'attraction d'une matière répartie dans chacun des volumes, la loi de la densité étant représentée en chaque point par la fonction p.

Les masses qui viennent d'être définies auront un potentiel \ ,

et l'on aura

AVi = o, ou AVi = — 4^?>

suivant que {jc^y^ z) sera à Tcxtérieur ou à l'intérieur. Par suite

que le point soit à l'intérieur ou à l'extérieur des volumes v. Nous

avons donc une fonction

continue dans tout l'espace, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre. Nous savons qu'elle a des dérivées secondes continues et qu'elle satisfait à l'équation de Laplace en tous les points de Tespace, en exceptant seulement les surfaces E limitant les volumes V, De plus U s'annule à l'infini.

Il est facile d'établir que les surfaces fermées E ne peuvent être pour les dérivées secondes des surfaces de discontinuité et que l'équation AU = o sera encore vérifiée pour les points de ces surfaces. Considérons, à cet effet, une surface quelconque S comprenant à son intérieur une de ces surfaces E, et deux autres surfaces

E' et W très voisines de E, l'une extérieure et l'autre inlérieure à E. Soit M un point de l'espace compris entre S et E'; nous

avons

ir.JJxdn r dix) .\t. J J \ dn r

les dérivées étant prises dans les deux cas dans le sens des normales intérieures aux surfaces géométriques S et E'. D'ailleurs

(Cl.. vr,§i)

■"■fj{4-7.à-.

par suite, on peut écrire

4~t/ «y \ dn r dn J \r.J J \ dn r dn J

mais, puisque E' et E'' sont 1res voisines l'une de l'autre, les deux dernières intégrales, où ne figurent que U et ses dérivées premières supposées continues même pour les points de la surface E, seront très peu différentes l'une de l'autre. Comme d'ailleurs leur différence est constante, elle doit être rigoureusement nulle. Donc

1 rfU ,^

,— /aj.

r dn

Si le point M est à l'intérieur de E, des calculs analogues établissent que U|| est donnée par la même formule. Mais la fonction U du point M, donnée par cette formule, est continue, ainsi que ses dérivées du premier et du second ordre, pour tous les points à l'intérieur de S. La surface E n'est donc pas une surface de singularités, et l'on a, même pour les points de E, AU = o. C'est ce que nous voulions démontrer.

Revenanl alors à la fonction U, nous voyons que U et ses dérivées du premier et du second ordre sont continues dans tout Pespace, et de plus on a toujours

AU = o.

Donc d'après le théorème du § 8 (Ch. VI), U se réduit à une constante qui ne pourra être que zéro puisque la fonction devient nulle à Pinfini. Nous avons alors

et la fonction V coïncide avec le potentiel V| .

9. D'après le théorème précédent, on connaîtra le potentiel dû à l'attraction d'un corps, si l'on a pu déterminer une fonction V satisfaisant à toutes les conditions précédentes. C'est ce qu'a fait Dirichlet dans un de ses Mémoires pour le cas de l'ellipsoïde (*). Soit l'ellipsoïde représenté par l'équation

Supposons-le rempli d'une matière homogène de densité p. Nous allons former a priori une fonction V(j?, y^ z)^ qui jouira des propriétés indiquées et devra, par suite, représenter le potentiel dû à l'attraction de cet ellipsoïde.

On sait que, si l'on considère l'équation en w,

elle a trois racines réelles comprises entre — a^ et — 6^, — 6'^ et — c^, — c' et 4- c».

Si le point (^, J^, s) est à l'extérieur de l'ellipsoïde, la racine supérieure à — C' est positive. Nous allons désigner par u une fonction de.r,j^, -s, qui sera nulle quand ce point sera à l'intérieur de l'ellipsoïde et sera égale à la racine positive de l'équation (3) quand il sera à l'extérieur.

(• ) Journal de Crelle, t. 32.

176 ÉQUATION DE LAPLArE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

Dans ces conditions formons l'intégrale

,, .1 .* -h X 6*-hX c*-+-X -.

\ ^Tzaoca f — =:^ gA.

X)(6«-hX)(c»-HX)

Tzaocp f — ; —

V est une fonction de ar, j' et 5 : elle représente, nous allons l'établir, le potentiel dû à l'attraction de l'ellipsoïde.

Cette fonction est d'abord évidemment continue dans tout l'espace et s'annule à Tinfîni. La règle de différentiation sous le signe d'intégration donne de suite, si le point est extérieur,

Tzabcp I — ■ —

0\ . f rt«-hX

/ x^ y^ 5' \ du

, \ fl* -+- M b'-h u c^-h u 1 dx — Tzabcp -^—

-— = — '2 7: abc px I — '^-^ X (a

„ (a2-+-X)v/(a*-HX)(6î-4-X)(c«-HX)

La même formule convient pour le cas où le point est à l'intérieur, en prenant alors, comme nous l'avons dit, u = o. Cette dérivée est continue dans tout l'espace.

Passons aux dérivées secondes; on a, en supposant le point extérieur,

^^=..atcp[-J^'-

(a*-HX)v/(a*-h

et des expressions analogues pour -^ — et -j^* En faisant la somme AV, on rencontre l'intégrale

dont la valeur est trouvée de suite égale à -r========^= ,

si l'on remarque que la quadrature indéfinie

J \a»-i-X "^ 6»-hX "^ c«-i-X/i//^i

v/(a»-r-X)(6»-+-X)(c«-+-X) De plus,

X au y du z du

a^-{- u dx b^-h u dy c^-\- u dz *

comme on le vérifie en dérivant successivement l'équation (3) par rapport kx^y^ 5, et en ajoutant après avoir multiplié respective-

ment ces équations dérivées par -r— — , rf » -s Nous aurons

donc

AV = iTzabcp l 711^====^=^

v/(aî-+- w)(6î-4- M)(c«-+- M)/

Le point a été supposé extérieur. Si le point est intérieur, il

o ^ du du du r ' r\ \ \

laut supposer —=-- = -- ^^ o et laire u =^ o. On a alors de '^^ dx dy dz

suite

AV=--4T:p.

La fonction V représente donc le potentiel de V attraction due à ^ellipsoïde E.

III. — Attraction d'une couche superficielle. Théorème de M. Bertrand.

10. Nous terminons celte étude sur l'attraction par l'examen d'un cas qui se rencontre fréquemment dans les applications. Considérons une surface fermée S, et une surface S' infiniment rapprochée de la première. Soit d^ un élément de S; menons la normale à cette surface en un point de l'élément rfo", et désignons par e la longueur de cette normale comprise entre S et S'. Le cylindre ajant pour base d^ et pour hauteur e a pour volume zd'j\ si J P. — I. 12

désigne la densité de la matière formant cet élément de volume, la masse de celui-ci sera

Nous poserons tKt = ^^ et, faisant tendre S' vers S, nous allons supposer que le produit eS tende pour chaque point de la surface vers une limite déterminée. Nous concentrons ainsi la masse de l'élément de volume sur l'élément de surface rfo* ; c'est une fiction analogue à celle par laquelle on concentre une masse déterminée en un point matériel. La masse attirante va donc être supposée concentrée sur la surface S, avec la densité superficielle p. Il pourra être utile, dans certains cas, de revenir à l'origine même de celte notion.

Le potentiel dil à l'attraction d'une couche superficielle sera l'intégrale

étendue à la surface S, r désignant toujours la distance du point attiré A de coordonnées -c, j', z à l'élément di. Quand le point A ne fait pas partie de la surface S, V est évidemment continue ainsi que ses dérivées partielles, et l'on a

\, Y, Z désignant les composantes de l'attraction de la couche sur A. Le potentiel V est encore parfaitement déterminé quand le point est sur la surface et ne cesse pas d'être une fonction continue quand A traverse la surface. Pour le montrer, traçons sur la surface une petite courbe fermée y, et supposons que le pied M de la normale menée du point A à la surface tombe à l'intérieur de cette courbe. Prenons comme axe des z la droite MA, le point M étant l'origine, et deux axes rectangulaires quelconques dans le plan tangent à la surface en M. Le potentiel sera représenté par

p dx dy \j \-r- p^-^ q^

en posant

Nous n'avons à nous préoccuper que du potentiel dû à Taltraclion de l'aire limitée par y» L'intégrale précédente doit donc être étendue à la projection de cette aire sur le plan des xy\ mais cette intégrale est moindre que

p dx dy v/i -h />* -h 7*

et, par suite, en prenant les coordonnées polaires R et 6 dans 1<* plan (jy), moindre que

r CpdRdf^^/l-^p^-hq^,

intégrale qui sera très petite si l'aire limitée par y est très petite. Donc, quand le point A traverse la surface, le potentiel V n<» cesse pas d'être une fonction continue.

Il n'en est pas de même pour les dérivées partielles, qui cessent d'avoir un sens quand le point est sur la surface. Sans m'arréter sur cette question, je veux seulement faire connaître à ce sujet une formule essentielle qui va être très utile dans la démonstration de deux théorèmes qui termineront ce Chapitre.

H. Considérons une surface fermée S et une couche étendue sur sa surface ; on la suppose telle que l'attraction, sur tout point intérieur, soit nulle. Dans ces conditions, le potentiel dû à l'attraction de cette couche sera constant à l'intérieur et, par conséquent, sur la surface S qui est dite alors une surface de niveau, c'est-à-dire une surface où le potentiel est constant. Soit C la valeur constante du potentiel sur S ; à l'extérieur, le potentiel est une fonction variable avec la position du point {x, y^ z) et qui varie depuis la valeur C jusqu'à zéro, quand le point s'éloigne indéfiniment. Envisageons une surface de niveau S' infiniment voisine de S et un élément rfo* sur celle-ci. Par les points du contour de cet élément, menons des courbes orthogonales aux surfaces de niveau ; ces courbes formeront une sorte de surface cylindrique, et je considère le volume limité par ce petit cylindre et les deux surfaces S et S'. Appliquons à ce volume la relation générale de Gauss (§ 6)

dfs =1 — 4 t: M .

l8o ÉQIATI05 DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

Les termes de rinlégrale relatifs à la surface latérale et à Télément </t sont nuls, puisque le cylindre a ses génératrices normales aux surfaces de niveau et que, d'autre part, V reste constant quand on pénètre dans la surface. L^intégrale se réduit donc à

l'élément -j- di/ relatif à Télément di^ découpé sur la surface S'

par le cylindre. D'ailleurs, on a (§ 10)

ol, par suite, Tégalité précédente se réduit ici à

Or, faisons tendre S' vers S, le rapport -r- tend vers l'unité, et

il nous reste

formule capitale où il faut bien entendre que -i— représente la limite (le la dérivre relative à la normale extérieure pour la surface (le niveau S', (piand celle-ci se rapproche indéûniment de S.

Voici une conséquence intéressante de cette formule. Supposons (iu(^ Ton ait, sur la surface S, deux couches différentes ii'exen;anl aucun(" action à Tintérieur. Soient, en chaque point, p et p, les densités superficielles pour ces deux couches, V^ et V, h»s polenliels qui leur correspondent. V et V| auront chacun une valeur constante sur la surface, soit m le rapport de ces deux ronstantes. Les deux potentiels

auront hi mt^me valeur sur S ; ils devront donc coïncider à Texteri«îur (S '^). Donc, pour cha(jue élément, nous avons

d\ ^ ^A^ dn dn

ri, pur Huite,

l,es deux densités sont dans le même rapport en tous les /HiintH de la surface.

ATTRACTION ET POTENTIEL. l8l