Je considère maintenant une famille de surfaces

VC^ïJ'» ^) = const.,

la fonction V satisfaisant à Téquation AV = o, à l'extérieur d'un certain volume P, et s'annulant à Tinflui ainsi que ses dérivées partielles comme un potentiel. On suppose, de plus, que, G variant depuis une certaine valeur y jusqu'à zéro, les surfaces

soient des surfaces fermées, enveloppant entièrement le volume P. Prenons une de ces surfaces et étalons sur elle une couche donl la densité en chaque point soit inversement proportionnelle à la distance à la surface infmiment voisine. Nous allons établir que :

L'action de cette couche, pour tout point qui lui est intérieur, est nulle, et que, pour les points extérieurs, les surfaces de niveau sont les surfaces de la famille considérée.

Tout d'abord, nous pouvons prendre comme expression de la

densité

i dW

expression inversement proportionnelle à rf/i, puisque, quand on passe d'une surface à la surface voisine, rfV est constant. Soit A un point intérieur à la surface S définie par Téquation (4), la formule de Green, appliquée pour le volume indéfini extérieur à cette surface, nous donne

Or, sur la surface, V a la valeur constante G ; donc

' "" ^r. J J r dn ^ "J J r

Ainsi, quel que soit le point À intérieur à S, le potentiel dû à l'attraction de la couche étendue sur S est égale à la constante G. L'attraction de celte couche est donc nulle sur tout point intérieur.

l82 ÊQCÀTIO.N DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS E.\ SÉRIES.

Appliquons encore la formule de Green, mais en supposant le point A extérieur à S. Nous aurons

ce qui montre que le potentiel dû à l'attraction de la couche est égal, au point A, à la valeur V^ de la fonction ¥(0^,^', z) en ce point. La famille des surfaces, dont nous sommes parti, donne donc les surfaces de niveau.

Le théorème précédent est un cas particulier d'une proposition plus générale donnée par Green dans le Mémoire que nous avons déjà cité. Elle a été retrouvée postérieurement par Chasles.

13. On doit à M. Bertrand un théorème qui est, en quelque sorte, rinverse de la question précédente et que des considéralions géométriques avaient conduit Téminent géomètre à énoncer comme très vraisemblable. On peut l'établir comme il suit (*) :

On a, je le suppose, une famille de surfaces fermées telles que, si l'on couvre une quelconque d'entre elles d'une couche dont la densité soit en chaque point inversement proportionnelle à la distance à la surface infiniment voisine, l'attraction de cette couche sur tout point intérieur soit nulle. Nous allons établir que, dans ces conditions, les sur/aces extérieures à la couche seront pour elles des sur/aces de nû'eau.

Désignons par

Tune quelconque des surfaces. Si A désigne un point intérieur à S el /• sa distance à l'élément variable dv de celle surface, l'intégrale

ou encore

^'^ n-ri!é'y'''-^%''''^-^t^^''y)^

(') Comptes rendus, t. CVII, p. 984.

ATTRACTION ET POTENTIEL. l83

étendue à S, ne dépend pas de la position de A; le mulliplicaleur

de — est, en effet, dans la première intégrale — et est bien, par

suite, inversement proportionnel à dn. Or prenons deux surfaces S et S' (S' étant extérieur à S et correspondant à la valeur )/ du paramètre); nous pouvons dire que l'intégrale (5), étendue à la surface intérieure de S et à la surface extérieure de S', est indépendante de la position de A. Or cette intégrale, comme nous le savons, peut se remplacer par l'intégrale triple

étendue au volume compris entre S et S', laquelle est la somme de l'intégrale

et de l'intégrale

fim

dx dy dz^

dx dy dy

% qui, d'après la formule préliminaire de Green, se réduit à

et est par suite égale à 4^('^' — ^); car, /étant constant sur les deux surfaces d'intégration, nous sommes ramené à l'intégrale de Gauss.

De là résulte que l'intégrale (6) ne dépend pas de la position de A. Or supposons maintenant )/= )» -h d\ l'élément de volume dx dy dz se réduit à

^ ^ d^cÛ

d9 an = — — -■ 9

\/wm)'- m

car