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l84 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

L'intégrale (6), en supprimant le facteur rfX, se réduit alors à

, . - - àx'^ dy* âz^ d^

vAlHÏHlr

D'autre part, Tintégrale (5) peut aussi s'écrire

Les intégrales (7) et (8) ne dépendent donc pas de la position de A à l'intérieur de S; il en résulte que (§ H) le quotient

ôx^ dy^ Oz^

reste constant sur chaque surface; il est donc une fonction de

La démonstration va maintenant s'achever facilement : de la relation

\ôx) "^ \ày) "^ \ô'z)

on déduit immédiatement qu'il existe une fonction V de/* satisfaisant à l'équation de Laplace. Soit, en eOet,

le calcul de AV donne de suite

L'équation AV = o revient donc à

(ïr-(îV(f )■"""¥'

et la condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse trouver

ATTRACTION ET POTENTIEL. l85

une fonction ^{/) vérifiant cette relation est que Ton ait l'identité (9).

L'équation de la famille de surfaces

peut donc se mettre sous la forme

et, par suite, nous nous trouvons ramené au théorème précédent. Toutefois une objection se présente; dans le cas actuel, nous ne savons rien sur la façon dont se comporte la fonction V(x, j^, z) à rinfini. Mais cela importe peu, si Ton a soin de modifier de la manière suivante le raisonnement fait au paragraphe précédent. Considérons deux surfaces fermées S et S'

on suppose S intérieur à S'.

Soit A un point compris entre ces deux surfaces. On aura, d'après la formule classique,

am-'.é^-rJIi:

y, = J- / / Vv-^-ir^/^.-^^ / / \V^;-J^^/rf,;

pour la première intégrale, la dérivée est prise vers l'extérieur de la surface; elle est prise vers l'intérieur dans la seconde. Mais V étant constant sur les surfaces d'intégration, la formule précédente se réduit à

Or la seconde intégrale, celle qui est relative à la surface S', est indépendante par hypothèse de la position de A. Donc V^ qui, à une constante près, se réduit à

k-^J J r dn '

représente le potentiel au point A de l'action exercée par la

l86 ÉQl'ATIOX DE LAPLACB. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉ1IB8.

couche de densité — j- étalée sur S. Les surfaces

^^•^»^ï c) = const.

extérieures à la surface S sont donc les surfaces de niveau pour celte couche. C'est ce que nous voulions établir.

14. Faisons une application au cas où la famille considérée de surfaces est une famille d'ellipsoïdes homofocaux,

En désignant, pour des valeurs données de x, y^ z^ la plus grande racine de cette équation par A, nous devons calculer

Or, en difierenliant successivement par rapport à ar, y^ z, on trouve immédiatement t^» t"> ti ^^ finalement, pour l'expression précédente,

En particulier, pour rdlipsoïde correspondant à A = o, la loi de la densité, en supposant celle-ci inversement proportionnelle à la distance à la surface infiniment voisine, pourra être représentée par

Je dis que pour une telle couche l'action sur un point intérieur est nulle. Pour l'établir, nous aurons recours à l'artifice suivant: Imaginons un second ellipsoïde homothétique, concentrique au premier et extérieur, et supposons que l'espace compris entre ces deux surfaces soit rempli d'une matière de densité constante 8. Cette masse n'exercera aucune action sur un point intérieur A. Pour le voir, il suffit de considérer un cône d'ouverture infini-

ment petite rfS, ayant pour sommet le point A. On sait que deux ellipsoïdes homothétiques détachent sur une même sécante des portions égales, c'est-à-dire qu'en désignant par r^ et r\ , r2 et /-^ les distances respectives du point A aux points de rencontre d'une sécante, passant par ce point, avec les deux ellipsoïdes, on aura Ti — /'a = r\ — r'g. De cette propriété résulte immédiatement que les deux masses, découpées parle cône élémentaire dans le volume attirant, exerceront sur le point A une même attraction, qui aura pour expression

rfS Cdr = 8 t/S{r, — r,) = 8 dl,{r\ — r\).

Soit maintenant i -f- a le rapport de similitude des deux ellipsoïdes, a étant très petit. Appelons p la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent à l'élément rfo- du premier ellipsoïde; le cône ayant A pour sommet et pour base dv découpera dans le volume attirant un volume élémentaire égal à

/?« dij

csiV p CL représentera la distance de deux plans tangents correspondants dans les deux ellipsoïdes homothétiques. La masse de cet

élément sera donc

paz d<3j

et la densité superficielle sur l'ellipsoïde, comme il a été expliqué (§ 10), sera proportionnelle à/>. Or on a

Nous retombons donc sur la couche que nous avons obtenue plus haut. Pour une telle couche, dont l'action sur un point intérieur est nulle, les surfaces de niveau à l'extérieur seront, d'après le théorème de M. Bertrand, des ellipsoïdes homofocaux à l'ellipsoïde sur lequel est étalée la couche considérée. Cette remarquable proposition est due à Poisson.

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