IV. — Méthode de M. Robin pour la recherche d*ime couche

sans action sur un point intérieur.

15. Nous terminerons ce Chapitre en faisant la recherche de la couche étalée sur une surface convexe et sans action sur un point intérieur. D'après ce que nous avons dit plus haut (§H), celte couche est unique si Ton fait abstraction d'un facteur constant par lequel on peut multiplier la densité en chaque point de la surface. Ce problème est du plus grand intérêt, car il revient au problème de la distribution de l'électricité. Parmi les diverses méthodes proposées pour le résoudre, une des plus élégantes est celle de M. Robin {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. CIV, p. i834)- Nous allons l'exposer, en démontrant d'abord une formule préliminaire, oblcnue par cet auteur dans sa remarquable Thèse sur le problème de la distribution de l'élec- Iricité (*).

16. Nous considérons donc une couche étalée sur une surface fermée convexe et n'exerçant aucune action sur un point intérieur. En un point fixe m sur la surface, je mène la normale n et je prends sur cette droite, hVintérieur de la surface, un point mi infiniment voisin de m. L'action exercée par la couche sur le point nit est nulle. Evaluons la composante suivant m/??, de Faction exercée par la couche sur le point m ; elle sera représentée par l'intégrale

où cp désigne l'angle fait avec la normale m/W| par la droite joignant le point m à l'élément rfo". (On aura soin de ne pas confondre cet angle avec celui qui a été désigné par la même lettre dans un Chapitre précédent.) L'intégrale précédente a un sens parfaitement déterminé; on s'en assure en prenant le point m pour origine et introduisant les coordonnées polaires avec lesquelles Télément ne devient plus infini. En désignant de même par fi l'angle que fait avec mim la droite joignant le point nit à l'élément rfar, Tinté-

(') G. Robin, Annales de VÉcole Normale, 1886 (supplément).

grale

représentera la projection sur rrix m de Taction de la couche en mi ; cette intégrale sera donc nulle par hypothèse. Formons la somme des intégrales (lo) et (i i); il est facile de l'évaluer. Partageons, en effet, la surface en deux parties, dont l'une est l'aire S infiniment petite, découpée autour de m par une sphère de rayon infiniment petit r', ce rayon étant toutefois infiniment grand par rapport à la distance mm^. La somme des intégrales (lo) et (ii), relatives à la portion de la surface extérieure à l'aire S, est infiniment petite ; car, le rayon r une fois fixé, l'action exercée sur m^ par cette portion de surface varie d'une manière continue quand m^ se rapproche indéfiniment de 772. Il reste à évaluer la somme pour l'aire 2. L'intégrale (lo) a évidemment une valeur infiniment petite ; Tintégrale (ii) représente, à un infiniment petit près, le produit par pm de Tangle solide sous lequel on voit du point m^ l'aire 2 : c'est ce qu'on voit nettement en introduisant l'angle ^ fait par la normale à l'élément di et la droite joignant cet élément au point m^. L'intégrale peut s'écrire

cosoi cos'!/ di p t-i 1

^ cos'{/ r\

et, si Ton appelle p^ la valeur de o au point m, cette expression différera très peu de