JJ
"* If cost;; /j
Or — ^^ est très voisin de l'unité: nous sommes donc ramené à cosy
Nous avons cette fois l'intégrale de Gauss. Le multiplicateur de pm est l'angle solide sous lequel du point nu on voit l'aire ï; il esl donc très voisin de 27:, et nous arrivons enfin à la formule
(.») ?.n=-JJ'-^d.,
puisque, comme il a été dit, l'intégrale (11) est nulle. C'est une
oqualion fonctionnelle ù laquelle satisfait la densité p, considérée comme fonction de point sur la surface, quand cette densité correspond à une couche sans action sur un point intérieur.
Cette équation fonctionnelle dé/init complètement, à un facteur constant près, la densité p. Pour le voir, reprenons le raisonnement précédent, sans nous appuyer, bien entendu, sur ce que rintégrale (il) est nulle. De Texistence supposée de l'équation {\'>.)y on tire précisément la conclusion que l'intégrale (ii) est nulle ou, pour parler plus rigoureusement, qu'elle est infiniment petite si le point m^ est inGniment voisin de la surface. Ceci suffît à établir que p représente la densité d'une couche sans action sur un point intérieur. En elfet, considérons la surface S', parallèle à la surface convexe donnée S, obtenue en portant sur la normale intérieure une longueur constante infînimcnt petite. En chaque
point de S', la dérivée -j- du potentiel dû à la couche étalée sur S,
est infiniment petite; or on a, d'après la formule préliminaire de Green, où Ton fait U = V,
./;/.7"[(£-M^)* <ÏÏ)>-— /AS-
rintégrale triple étant étendue au volume limité par S' et l'intégrale
dn
double étant étendue à cette surface. Or -j- est infiniment petit;
Il en sera, par suite, de même des dérivées partielles t"> 3~> 77:
en tous les points de Tintérieur. Ces expressions, indépendantes de la surface S', étant aussi petites que l'on veut, sont rigoureusement nulles, et, par suite, V est constant à l'intérieur. La couche de densité p étendue sur S est donc sans action sur un point intérieur; c'est ce que nous voulions démontrer.
Faisons encore la remarque importante que la densité p d'une couche sans action sur un point intérieur ne peut s'annuler en aucun point de la surface convexe S. C'est ce que montre l'équation fonctionnelle de M. Robin. En effet, cos^ étant toujours positif, les éléments de l'intégrale (12) sont tous positifs et l'on ne peut avoir, par suite, ^^ = o. Il y aura certainement un certain nombre positif, au-dessous duquel ne descendra pas la densité p.
17. Nous sommes maintenant en mesure de résoudre le problème proposé. Donnons-nous une fonction quelconque f^ bien déterminée, finie et continue en tout point de S; pour fixer les idées, nous supposerons cette fonction positive en tous les points de la surface. Je forme la suite d'intégrales
La première équation donne une fonction /i du point arbitraire m sur la surface ; avec cette fonction, on forme la seconde intégrale, et ainsi de suite. L'angle o a la même signification qu'au paragraphe précédent, c'est l'angle formé par la droite /• qui va de m à l'élément rfo" avec la normale intérieure en m. On va démontrer que /n tend vers la densité p d^une couche sans action sur un point intérieur.
On peut écrire
Soient A le maximum, B le minimum du rapport — • En suivant la même idée que plus haut avec M. C. Neumann, partageons la surface S en deux parties : l'une, a, pour laquelle la valeur de ~
est supérieure à - — : l'autre, ^, pour laquelle cette valeur sera
inférieure ou égale à • On aura
iga ÊQIÀTIOX DE LAPLàCE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
ce qui peut encore s'écrire
.r/.,Bjj '-j-^d,^ -—JJ -r.-^'^'-
Or nous avons vu que / / ^ ^^ ' ■ ih ^-= 'iiz^.
s Posons
On auru donc
A - R Os
2 arp
fl>^^^ iL- »? o«.
Nous avons deux limiles entre lesquelles est comprise — pour
un point m do la surface. Pour un autre point ///, nous aurions <les inégalités analogues
p 1 '2 7ro
les accents indiquant que les fonctions et les intégrales sont prises pour le point /?/.
Nous tirons des inégalités qui précédent
Or il est évident que
4 Trp 4 r.p
ATTRACTION ET POTENTIEL. IqS
car chacun des termes est moindre que ^; de plus, cette somme restera supérieure à un nombre positif plus petit que l'unité. Il en est de même de
4Trp 47:p'* j\ous en concluons, enfin,
<{jl(A-B) (o<tx<i).
Si donc on désigne par Â| et B| le maximum et le minimum de /i
« on aura
A,-B,<{jl(A-B),
f et, en général, A,,, B« désignant le maximum et le minimum de — >
on a
A„-B«<tx'»(A — B).
Si donc /„ tend vers une limite pour chaque point m de la surface, il est manifeste que le quotient
lend vers une constante, puisque la différence entre son maximum et son minimum tend vers zéro quand n augmente infiniment.
Or rinégalité précédente elle-même montre que fn tend vers une limite; on peut, en effet, écrire
en mettant explicitement en évidence, sous le signe d'intégration, au moyen des accents, que les fonctions se rapportent à l'éiément d<7. Par suite, /
puisque
mais
-Ïj^zI — 'L^::^\ < jjL»-i(A — B); p' P I
194 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÊVELOPPEXB?ïTS B.N SÉRIES.
nous avons donc
I fn-fn-x I < fi«-* p(A - B)< fi«-i po( A - B),
en désignant par po le maximum de p.
Si Ton écrit alors
on voit que la limite dey,^ existe bien et peut être regardée comme la somme d'une série, dont les termes décroissent à la façon d'une progression géométrique décroissante.
Il est donc démontré que
lim/r, — Cp (pour n = oc),
C étant une constante. Cette constante C ne peut d'ailleurs être nulle, quelle que soit la fonction initiale y, puisque, en particulier, si Ton prenait ./"=?, on aurait C = i. La méthode précé- (lenie permet donc d'obtenir la densité de la couche sans action sur un point intérieur.
