Au lieu de considérer la somme précédente, on eût pu con

sidérer d'une manière plus générale l'expression

(^i— «)/{« -^ 0,0,) -4- (x,— jr,)/(>,-f- O,0i) -+-. . .

les quantités étant prises arbitrairement entre zéro et un. La limite de cette somme sera, quels que soient les 0, la même que tout à rhcure. En effet, les intervalles étant supposés plus petits que 0, cette somme diffère de la précédente d'une quantité moindre que e (6 — a), et l'assertion devient évidente.

Les remarques suivantes résultent immédiatement de la définition de l'intégrale. On a tout d'abord

f /(x)dx-^ f /{x)dx

<'ar les éléments des deux sommes sont deux à deux égaux et de

signes contraires.

Plus généralement, on aura

f f{x) dx-^ f /(x) dx-h f f{x) dx r-. (),

Ja Jh ^c

comme on a en géométrie au -i- bc -\- ca = o, en tenant compte du principe des signes.

Supposons maintenant que dans l'intervalle {ft, b) la fonction continue f{x) ait un maximum M et un minimum m, Tintégrahî

b f{x)dx

sera comprise entre M (6 — a) et m{b — r/), en remarquant que I dx = b — a. On pourra donc écrire

I f{x)dx= \{b^au

A étant compris entre M et /;/. La fonction f{x) prendra la valeur A pour une valeur au moins $ comprise entre a et 6 ( ' ) ; nous

(•) Une fonction continue dans un intervalle f{x) atteint effectivement son maximum et son minimum dans cet intervalle, et elle prend toutes les valeurs

avons ainsi

J /{x)dx=/a){b-a),

Ç élanl compris entre a et b,

La formule précédente se généralise immédiatement. Considérons en effet l'intégrale

(',.) C f(x)^{x)dx

et admettons que ^{x) soit positif entre les limites de l'intégrale. Désignons encore par M et m le maximum et le minimum àef{x)\ nous aurons

Mo(a)(j:i— a)>/(a)<p(a) (j?,— a) > m?p(a) (a:,— a), M<p(ar,)(j?, — .r,)>/(j:,)<p(a:,)(ar,— a:i)>m<p(ar,)(a7,— ^,), î

yi-^{Xn-\){b—Xa-ï)>f{Xa^\)^{Xn-x)(b--Xn-\)>mr^{Xn-i){b'-'Xn-x)y

si Ton suppose, pour fixer les idées, que a soit inférieur à b.

Ajoutant membre à membre et passant à la limite, on voit que rinlégrale (2) sera comprise entre

m/ f^{x)dx et ml ^{x)dx,

On pourra par suite écrire

i étant compris entre a et b,