II. — Fonction ayant pour dérivée une fonction donnée

Applications géométriques.

4. Nous pouvons maintenant répondre d'une manière précise à la question que nous avons posée au début de ce Chapitre. Soit

intermédiaires. Nous n'insistons pas sur ces théorèmes qu'on admet sans peine; on en trouvera par exemple la démonstration dans le Mémoire de M. Darboux sur les fonctions discontinues {Annales de l'École Normale, 1875).

f{x) une fonction continue dans un intervalle (a, b)\ x étant compris dans cet intervalle, l'intégrale

est une grandeur bien déterminée qui dépend de la limite supérieure x\ cette intégrale est donc une fonction de Xj ¥{x)\ nous allons démontrer qu'elle a/(x) pour dérivée. On a en effet

F(J7 4- A) - F(x) = f f{y) dy = A/(0,

\ étant compris entre x et j: -{- A. De là résulte d'abord que la fonction F(j:) est continue; nous avons ensuite

h -Jy^^h

et, en faisant tendre h vers zéro, on voit que le premier membre a une limite qui esty"(j:). Nous avons donc

et V existence d^ une fonction continue F(j:), ayant pour dérivée une fonction continue donnée f{x)^ est démontrée,

5. Si, par un procédé quelconque, on a trouvé une certaine fonction continue ¥{x) qui admet pour dérivée /(j;), celte fonction ne différera que par une constante C de l'intégrale définie

/f{y)dyy puisque cette intégrale a même dérivée que F(jc).

On aura donc

F(^)= f f(y)dy-^C,

En particulier, si x ^= a, on trouve F(a) =: C; par suite

(3) F(ar)-F(a)= rf{y)dy^

et si l'on fait x ^= b,

F(^)-F(a)= r /{y)dy,

formule qui est fondamenlale pour le calcul des intégrales dëfi-

oies.

De cette formule et de celle établie (§ 3),

on conclut le théorème souvent désigné sous le nom de théorème des accroissements finis. Soit, en effet, F(x) une fonction continue ayant pour dérivée /(j:), il viendra

c'est le théorème des accroissements finis. Il se trouve démontre, par ces considérations, pour une fonction continue F(x) ayant une dérivée ¥\x) elle-même continue.

On sait que la démonstration de M. Bonnet, donnée aujourd'hui dans tous les cours de Mathématiques spéciales, n'exige pas que la dérivée soit continue, mais seulement qu'elle existe et soit finie.

6. Une remarque importante concerne le cas où la fonction F(.r) aurait plusieurs déterminations, ce qui arrive pour les fonctions circulaires arcsinj;, arctangx. Pour éviter toute difficulté, on doit partir de la formule (3); on prend pour F(a) une de ses déterminations; pour x voisin de a, il y aura, dans les cas qui se recontrent le plus fréquemment, une seule détermination de F(j:) voisine de celle que Ton a choisie pour F(a). On trouvera ainsi, de proche en proche et sans ambiguïté, la valeur qu'il faut adopter pour F(x), quand x variera Ac akb. Soit, par exemple,

on peut prendre

F(j7)= arc tangx.

Parmi les déterminations diverses de arc tangx, choisissons celle qui s'annule pour x = o^ on aura alors

^ dx -— — = arctang6,

arctangfr étant la détermination de arc tan g x obtenue en suivant

lO INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

d'une manière continue, de j: = o à x=^ 6, la détermination de arc tango: qui s'annule pour j; = o ; par suite, dans la formule précédente, arc iangb représentera l'arc compris entre -' et -h -^ >

ïiyant b pour tangente.

f{x)dx (a<b)

est susceptible d'une inlerprétation géométrique. Considérons la courbe ^=/(x) et supposons d'abord /(j?) positif quand x varie entre a et b. Chacun des termes de la somme

représente un rectangle de hauteury(xi) et de base (j7/+i — .2:1 ); si l'on convient d'appeler aire limitée par la courbe, l'axe des x el les deux droites x z= a^ x= b^la. limite de la somme de ces rectangles, nous pourrons dire que l'intégrale définie représente une aire. Si /(x) n'était pas toujours positif de a à 6, on voit de suite que l'intégrale précédente représente, en supposant toujours a<^b^ Faire comprise entre les ordonnées x= a ci x -= 6, en ayant soin de considérer comme négatives les portions de cette aire situées audessous de l'axe Ox. Si a^ b^ ce sont au contraire les portions d'aire au-dessus de Ox que l'on devra considérer comme négatives, et les autres comme positives.

Une autre remarque plus importante est relative au cas où la

fonction f{x) passerait brusquement d'une valeur à une autre, comme l'indique la figure. Pour x = Cj/{x) passe brusquement

INTÉGRALES DÉFÎMES. I I

de fC à cD. L'intégrale définie n'en a pas moins un sens précis : elle représente la somme des deux aires, entendues comme il vient d'être dit, ACac et DBcô. Nous sommes donc ainsi conduit à élargir notre notion de l'intégrale définie, en voyant que/{x)j en général continue, peut avoir entre « et 6 un nombre limité de discontinuités de la nature indiquée sans que l'intégrale cesse d'avoir un sens précis.

Si Ton considère maintenant l'intégrale

ce sera une fonction continue de x et elle aura pour dérivée /(x), nous l'avons dit, pour les valeurs de x qui rendent/(x) continue. Pour une valeur telle que ^ = c, au contraire, cette fonction n'aura pas de dérivée, le rapport

F(c-hyi) — F (c) h

tendant vers la limite Ce ou la limite De, suivant que h tend vers xéro par valeurs négatives ou positives.

8. Comme seconde application géométrique de la notion d'intégrale définie, définissons la longueur d'un arc de courbe. Soit une courbe gauche représentée par les trois équations

et admettons que, t variant de a k b{a<^ 6), le point (x, y, z ) décrive un arc de cette courbe AB, en allant toujours dans le même sens. Les fonctions/, o et d» et leurs dérivées/', ç' et ^' sont supposées continues de a k b.

Ceci posé, prenons sur l'arc AB les points A| , A^, . . . , A„i , correspondant aux valeurs ^4 , Z^; • • • > ^/î-i ^^ paramètre t, et considérons le contour polygonal AAj A2 . . . A«i B. Nous allons voir que ce contour polygonal tend vers une limite, quand tous les côtés tendent vers zéro, leur nombre augmentant indéfiniment: ce sera la longueur de l'arc. En effet, le côté A,A,.,.| a pour expression

et l'on a

avec des égalités analogues pour© et '}. Or, si tous les intervalles ti^i — ti sont suffisamment petits, toutes les quantités e,- auront une valeur absolue moindre que telle quantité donnée à l'avance (d'après le lemme du § 2) : nous pouvons donc écrire

et tous les o/sont inférieurs en valeur absolue à une quantité donnée à l'avance s, si tous les intervalles sont suffisamment petits. Nous aurons alors

1 c/ = 2 ( ti^, - ti) //'«(//>-+-?'»(//) -+-f«(//) -+- 2 PU ^-Hi -ti):

la première somme a pour limite

/ ^/^Kt)-^i\t)-^^^{t)dt\

la seconde tend vers zéro, puisque sa valeur absolue est moindre que t{h — a).

Nous avons en résumé

Si à la place de b on met t comme limite supérieure, s deviendra une fonction de /, et on aura pour exprimer la différentielle ds la formule fondamentale

ds^ = dx^ -4- dy^ -\- dz^.

Prenons comme exemple une cycloïde, c'est-à-dire la courbe plane obtenue de la manière suivante : Une circonférence de rayon R roule sur une droite fixe, tout point de celte circonférence décrit une cycloïde.

Faisons partir le point décrivant de l'origine des coordonnées sur la droite fixe, prise pour axe des x. En appelant l'angle dont on aura tourné le rayon allant au point fixe qui décrit la courbe,

INTÉGRALES DÉFINIES. l3

on aura pour coordonnées de ce point

xrr-. R(0 — sin6), ^ = R(i — cos6).

La formule nous donne

cl par suite

é/* = 9. R sin - ^0,

si Ton veut que, étant compris entre o et ai:, 5 et croissent ensemble. En comptant les arcs à partir de l'origine, on aura donc

= 4r(.-cos5)