I. — Des séries uniformément convergentes
1. Les fonctions se présentant souvent en Analyse sous forme de séries, il serait extrêmement utile d'avoir des règles qui permissent d'effectuer l'intégration ou la différentiation d'une fonction ainsi représentée. On sait malheureusement peu de chose de général sur ce sujet. Toutefois l'étude de ces questions a conduit à bien préciser la nature particulière de convergence de certaines séries dépendant d'un paramètre arbitraire. Soit
une série dont les termes sont des fonctions continues d'une variable X ; la série est supposée convergente quand
ar.x<b.
On la dira uniformément convergente dans cet intervalle, quand, étant donné à l'avance un nombre e, on peut prendre n assez grand pour que le reste de la série
correspondant au nombre n, soit inférieur en valeur absolue à e, quelle que soit la valeur de x dans V intervalle (a, h). En d'autres termes, l'approximation ne doit pas dépendre de la valeur particulière de x que l'on considère.
Il est facile d'indiquer des séries, convergentes dans un intervalle, mais non uniformément convergentes ; soit, par exemple, la
série
elle est convergente pour toute valeur de x, mais elle n'est pas uniformément convergente dans un intervalle couiprenant la valeur j; = o. On a, en effet,
et on ne peut pas fixer n de lelle sorte que R/, (^) soit inférieur à t, X étant aussi voisin de zéro qu'on voudra.
2. La notion de convergence uniforme étant établie, on peut faire, sur la fonction représentée par la série, ([uelques remarques aussi simples qu'importantes.
Tout d'abord /a Jonction /(x) représentée par /a série, uniforniément com^er^^ente dans l'intervaile (a, b),
f{x) — Uo(x)-T- Mi(:r)-f-...-i-a„(j-)-i-... ,
oii les termes sont des fonctions continues de x, sera elle-même
une fonction continue dans cet intervalle.
Ecrivons
f{x) = Mo-+- ai-h...-hi*rt-t- R„.
Nous pouvons, par hypothèse, prendre n assez grand pour que I Rrt I <[ e, X étant quelconque dans l'intervalle (a, 6), et e désignant une quantité donnée à l'avance aussi petite que l'on voudra. On aura donc
quels que soient x et x\ avec
D'autre part, la fonction z^o4- «/i 4- . • . -+- w,,, formée d'un nombre limité de termes, est continue ; par suite, on peut prendre a/ suffisamment voisin de x pour que la différence
( m'o H- a, — . . . -h w';, 1 - ( Mo -H M 1 -t - . . . -+- M„ )
soit inférieure en valeur absolue à e, et, par const^'iiuf^nt,
l/(^')-/(^)| <3e, si x^ est suffisamment voisin.de x ; la fonction esl donc continue.
3. Montrons, en second lieu, que la fonctitt/i pourra tUri* intégrée en faisant la somme des intégrales de cliat/m' terme de la série.
On a d'abord
f f{T}dx—l uodr-^...— ! u„ dx " j \\ni-r)dXf a dx d^ J^
a et ^ étant compris dans l'intervalle ia^ h). Mais, // étant toujours fixé de la même manière.
£ élant aussi petit que l'on veut ; il en n>ult/; qii<; la f»éri<f
I u^ dr — — 1 1/
est convei^eole et a j^our l'imix^ f / x^ dj:. Ou \toutrit 4otn: fuir^
l'intégration en iDi^fpr^ni cliaqufr t^nn^r d«; b ^ri^ ^1 «-fj hMni \4 somme de ces înté^^ralfr*.
Relativement à fci d^ri\aiion d^ f-x . lit i^-çl*; i/*rt>t jAuh itUhH simple. Suppoî'On*' qu<; J^rs ioncxiouk a ^i*fui 4^* ^U:n\hi^ *:\Wh^ même continuer : Iji t>éri«r
dj dj d/
ne sera pa* D^ce«*Ji»:iu**Dt ^oir^*rJïj:*:*iU : i>fJl*r < M. j/'<^# ^m M;pl« ,. I*
série corrcspondjuDU- <> v,. =-r - "l lu^»>^. .*/ *'//#' ^// //////<// ///^^
ment comer^^ftle dmn f^ittj.^t \^jJfA^ ^j . h . '^/' z/*-//' '////////>'/ quelle repr^i^r^t^, d*jfti '^i ///r*-/ » <///*- /•/ i/^-z/i/V //«^ h^ f^jn/, iion f^ r ;-
Soil, en effet, on aura, d'après le théorème qui vient d'être établi,
uf^ désignant la valeur de ///,(.r) pour .r = a ; or la série dans \e second membre représente la différence des séries
et
Il Q -h" M I -T- . . . - T- U II
On a, par suite,
f(x) — / ^{x) fl^j7 = wj -H mJ -T-. . .-^ «"-1-. . .,
ce qui montre bien ç^ua f[x) a pour dérivée o{x),
\/à notion de la convergence uniforme s'applique aux fonctions d'un nombre quelconque de variables. Soil, par exemple,
une série dont les termes sont des fondions continues des deux variables x cl y quand le point {x^y) est à l'intérieur d'un contour A. La série sera uniformément convergent<î dans ce contour, si l'on peut prendre n assez grand pour que le reste de la série, relatif au nombre /i, soit moindre qu'une quantité donnée à Tavance s, quel que soit le point {x^y) dans le contour A, .Le théorème relatif à l'intégration s'étend de lui-même ; si 2 désigne une aire contenue dans A, on aura
/ i u{x,y)dxdy" j j u^ix, y) dx dy -\- ...-¥- j j u„{T,y)dx dy-h,..,
les intégrales doubles étant étendues à l'aire S.
Nous nous bornerons à ces généralités; nous allons les appliquer à une classe de séries qui jouent, dans la théorie des fonctions,
un rôle capital, je veux parler des séries ordonnées suivant les puissances entières et positives de la variable.
