II. — Des séries ordonnées suivant les puissances entières
et croissantes de la variable.
o. La formule de Mac-Laurin conduit à considérer des séries ordonnées suivant les puissances positives et entières de la variable. Prenons, a priori, une telle série
011 les a désignent des constantes. Abel a donné, relativement à ces séries, deux propositions importantes. Désignons, d'une ma- Dière générale, par A, la valeur absolue de a et, par X, la valeur absolue de x. Le premier théorème d'Abel est le suivant :
Si, pour une valeur Xq de x^ on a, quel que soit n,
a./iAq <c m,
M étant un nombre fixe, la série sera convergente pour toute valeur de x inférieure à Xq en valeur absolue.
Je dis, en effet, que la série à termes positifs
Ao -+- Al X — . . . -f- An X» -+- . . .
sera convergente, si X <^ X©. On le voit de suite, en remarquant que les termes de cette série sont moindres que ceux de la série
évidemment convergente. La série (i) est donc convergente quand on remplace chaque terme par sa valeur absolue, si
elle est donc elle-même convergente. Eo entendant par série absolument convergente une série dans laquelle la série des valeurs absolues des termes est convergente, nous pouvons dire que la série est absolument convergente pour toute valeur de x de module moindre que X«.
ClOO ÉQUATION DE LAPLACK. — UÊVELOI*PKMENTS EN SÉRIES.
Un cas particulier intéressant est celui oii la série convergerait pour x = Xo] dans ce cas, A/|XJ[ tend manifestement vers zéro quand n augmente indéfiniment, et nous pouvons appliquer le théorème précédent. Si donc la série converge pour j:* = j:©, elle converge pour toute valeur de jr telle que | x \ <' ; J:*© | •
Soit, pour fixer les idées, To positif; si la série (i) converge pour X = Xq^ elle convergera, d'après ce qui précède, pour toute valeur positive de x inférieur à Xq» Nous allons montrer, d'après Abcl (*), que cetfe srrie est uniformément eonvergente dans r intervalle {^ — ly^o), lî» quantité positive /étant inférieure à x©.
6. Pour établir cet important théorème, établissons d'abord un lemme préliminaire :
Soient an nombre quelconque de quantités positives décroissantes
et un même nombre de quantités réelles quelconques Supposons que les sommes
Sq = Uq^
St — I/o-- 1/,,
Sf — Mo-+- Mi-r- Ml,
Sj,= UQ-\-Ni-h,..-^ Up
soient toutes comprises entre deux nombres A et B, /e dis que la somme
(2) 60^0-+- eiMj-f-. . .-r- EpM;,
sera comprise entre Ae,, et Bso* lîn effet, nous pouvons écrire
Uq z= Sq* M| = Si 5o, • • • » ^p ^^^ ''^P — */'— t >
(') Abel, Œuvres complètes, t. I (Mémoire sur la formule du binôme).
la somme (2) sera donc égaie à
Toutes les différences entre parenthèses sont positives; si, à la place des s, on met A ou B, on aura des limites inférieure et supérieure de la somme (2), ce qui nous donne
A ÊQ <C £0 ^0 ~*~ • • • ~^ ^p ^p "^ ^ Sq,
ce qui démontre le lemme énoncé (*).
(') De ce lemme d'Abel, M. Bonnet a déduit une forme importante de Tinté- ^ale
f f{x)^{x)dx {a<b),
en supposant que ?(:r) varie dans le même sens de a à 6. Supposons ^{x) positif et décroissant quand x varie de a à 6.
Cette intégrale est la limite de la somme
/(«)?(«)(^,— «) -^••.• Or cette somme, d'après le lemme d'Abel, est comprise entre
AçCa) et B9(a), en désignant par A et B la plus petite et la plus grande des sommes
/(a)(ar,- a)-^/(a:,)(a:,— ar,),
Passons à la limite; on voit que l'intégrale proposée sera comprise entre
A,9(a) et B.9(a), A, et B, désignant le minimum et le maximum de
f{x)dx,
quand x varie entre a et b. On peut donc écrire, et c'est le théorème de M. Bonnet,
f /{x)^{x)dx = z>{a) f^f{x)dx {a<\<b).
Dans le cas où 9(x) serait positif et croissant, on démontrerait de la même manière la formule
/(x)9(:r)c/x^ 9(6) / f{,x)dx {a<\<b)
Arrivons maintenant à la démonstration du théorème; il suffira évidemment de l'établir pour Tintervalle (o, x^). Par hjpothèse, la série
est convergente; on peut donc prendre n assez grand pour que
soit compris entre — a et -h a, quel que soit/?, a étant une quantité donnée à Tavance aussi petite que l'on voudra. Or, dans la série
«0-— CfiJ7-r-...-+- 61/4 J7'* -H. • • >
la somme de/? 4- i termes, à la suite du /i''"*, peut s'écrire
Appliquons le lemme précédent, en supposant que les e soient les
puissances successives (-) ' ( — ) » • • • et que ao=ûr„j:J,
u^ =z aft^iX"^\ .... Les sommes ^o, 5<, ... correspondantes seront toutes comprises entre — a et -l- a. La somme (3) est donc comprise entre
et, par conséquent, entre — a et -f-a. Donc, quelque soit x dans l^ intervalle (o, Xo), le reste
de la série
sera compris entre — a et -h a. La série est par suite uniformément convergente dans cet intenta lie. C'est le théorème d'Abel; l'illustre géomètre l'énonce autrement, en insistant particulièrement sur le point suivant : lorsque x tend vers Xq^ la limite des valeurs que prend la série entière est précisément la valeur de la série pour x --Xq, Avec nos locutions, ceci revient à dire que la convergence uniforme s'élend jusqu'à la valeur limite :ro elle-même; c'est ce que nous venons d'établir.
Le théorème d'Abel est d'un grand intérêt; la remarque sui-
INTÉGRATION DES SÉRIKS. 2o3
vante en fera bien comprendre toute la valeur. Dans une série, dont les termes sont des fonctions continues dex,
I^O -f- Mj -+- . . . H— U/i -i- • • • .
et qui converge pour les valeurs voisines de Xq et pour Xq ellemême, il peut arriver que la limite des valeurs de la série quand x tend vers Xq ne soit pas égale à la valeur de la série pour x = Xq- Ainsi prenons la série
sinaa: sin3j7
sin X \ r ... ;
on démontrera, dans le Chapitre suivant, qu'elle représente -
lorsque x est compris entre — tc et -h r. Lorsque x tend vers t:,
il est évident que la limite des valeurs de la série est -> et cette
valeur n'est pas égale à la valeur même de la série qui est zéro pour j: r^ t:.
7. Indiquons quelques applications du théorème précédent. Lorsque x est compris enlre — i et -f- i, la formule de Tajlor donne le développement
( I -+- or )"« = 1 -+- mx -i — ar' -H . . .
Lorsque x tend vers w/î, le premier membre tend vers 2'". La série du second membre, pour x= i, représentera donc 2"' quand elle sera convergente ; c'est ce qui résulte du théorème d'Abel. Nous avons donc à chercher dans quels cas la série
( 4 ) I -T~ fft — i— —i~ . . . ~f- ■ ~^ • • •
est convergente.
Le rapport d'un terme au précédent est
2o4 ÉQLATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS E?( SÉRIES.
Si donc m -j- i^o,\es termes ne peuvent décroître indéfiniment et la st'rie diverge.
Soit donc m Z^ — i . A partir d'une valeur suffisamment grande de riy ]a valeur absolue du rapport d'un terme au précédent sera
la valeur absolue des termes ira donc en diminuant; de plus, les termes seront alternativement positifs et négatifs. Nous aurons donc montré que la série est convergente si nous établissons que le terme général tend vers zéro. Prenons la série des valeurs absolues des termes, soit
on a
Considérons, d'aulre part, la série
0» »lï •••1 »n» •••)
OÙ V„r= -^— : dans cette série, le rapport d'un terme au précédent est
en développant par la formule de Tajior et s'arrélant au second terme. Le reste est positif, donc
inégalité d'où Ton conclut de suite
yjn-^'p <C ^n-hp 77~" *
Un
Laissons n fixe et faisons croître p indéfiniment, V,,^;, tend vers zéro et par suite U,i+p.
Donc le terme général
tend vers zéro quand n augmente indéfinimenU En résumé, la série (4) est convergente et représente 2'" quand m est supérieur à — 1 .
On établira, par des considérations analogues, que la série du binôme est convergente pour a: =^ — i, quand m est positif. I^a somme de la série est alors égale à zéro.
8. Abel a donné une règle intéressante concernant la multiplication des séries; elle se déduit très élégamment de son théorème relatif aux séries entières.
Rappelons d'abord le théorème suivant, dû à Cauchy :
Si on a deux séries absolument convergentes
O = Uq -1- U-i — r- {£} — — . . . --r- M/i — î~ • • • i S' = Pq -^- ^1 -h (^j -+-...-- Prt -h . . . ,
la série
sera convergente et égale au produit des deux premières. Ce théorème est même exact, si Ton suppose seulement qu'une des deux séries soit absolument convergente ; c'est ce qu'a fait voir M. Mertens {Journal de C relie y t. 79).
Abel, dans son énoncé, ne suppose -pas que les deux séries (S) et (S') soient absolument convergentes. La série S" pourrait alors être divergente; mais, et c'est là le théorème, si elle converge, elle représentera le produit des deux premières.
Formons en effet les deux séries
X = Mo -4- Mj27^.. . .-4- M^jrn-H. . .,
elles sont convergentes, par hypothèse, pour a;= 1, et elles sont absolument convergentes quand \x\<i i . En appliquant la règle de multiplication de Cauchy, on a
2:2:'= Moi^o-^("o^|-+- Wi^'o)-a:'-H' • '-1- ("o^'/>-*-- • «-H W/it'o)^"-*-- . . .
On suppose que cette dernière série converge pour x = i. Sa valeur S" pour x = 1 est donc la limite des valeurs qu'elle prend
quand a: tend vers un. Mais S2' tend vers SS' : on aura donc
