SS'=S

La troisième série est bien le produit des deux premières.

9. Revenons à la théorie générale des séries entières. Une telle série

converge nécessairement dans un certain intervalle ( — L, -+- L), les deux valeurs limites étant exclues. De plus, dans tout intervalle (a, p) compris dans celui-là (a et p étant distincts de — L et -h L), la convergence est uniforme. Soit, en particulier, l'intervalle (o, x), où I ^ I <^ L; le théorème du paragraphe (3) nous permet d'écrire

Considérons maintenant la série formée avec les dérivées

Je dis que cette série est convergente entre — Let-f- L. Soit en

eflet jTo distinct de la limite -f- L, mais aussi voisin d'elle que l'on

voudra, on aura

knx% < M,

M étant indépendant de /?. La série

A 1 -h 9. Aj X H- ... H- n A;, X«-* -+-...

sera convergente si ^<^Xq, En eflet, ses termes sont moindres que ceux de la série évidemment convergente

Mr X i^Y ^

La série (5) est donc absolument convergente pour toute valeur de X moindre que L en valeur absolue, et, d'après les propriétés des séries entières, elle sera uniformément convergente dans l'intervalle (a, [j). Donc, en appliquant le second théorème établi au § 3, nous sommes assuré que la série (5) représente la clérà'ée de la fonction /(x).

Nous avons donc établi ce théorème très important : La série

«0 -+- «1 .7* -r- • . • -r- rt/i ^" -T- . . . ,

convergente dans l'intervalle (,— L, -f-L), définit dans cet intervalle une fonction continue, avant une dérivée ; celle-ci peut être représentée par la série

ax-^ia^T -r- . . -^ nanX^-^-^-. . . .

Considérons, comme application, la série

elle est convergente entre — i et -H i : nous aurons

cette dernière série est une proj^ression géoniélriquc décroissante dont la raison est — x^. On a donc

et de là se conclut le développement

arc tanso: = x

en prenant pour arctangx Tare compris entre — - et -|- ^. Ce

développement est valable pour x compris entre — i et + i. Pour j:= I, la série du second membre, étant convergente, représentera arc tane: i , c'est-à-dire t •

10. Examinons quelques cas particuliers où la série diverge pour la limite de l'intervalle de convergence. Soit la série

^ ' \p 11* nP '

/? étant un nombre positif. Celte série sera convergente pour toute valeur de x comprise entre — i et + i , car le rapport d'un terme au précédent a x pour limite. Pour x ^^\, la série sera conver-

I^enlc si p est supérieur à l'unité, elle sera au contraire divergente si p est inférieur à l'unité. Dans ce dernier cas, quand x tend vers l'unité, la série précédente augmente indéfiniment.

Nous plaçant dans riiypolhèse/? < i , considérons le produit

(i — xy-pV{x),

Nous allons montrer que ce produit tend vers une iimitr quand x tend vers un, en lui étant inférieur. On a

Or considérons, pour une valeur iixe de x, la courbe, rapportée aux axes X et \, représentée par Téquation

x^(i — xY-p Y= ^^,

D'après ce que nous avons expliqué (Ch. I, § 17), la série

x^(i — xV P x^^d — xY-P

iP nP

sera comprise entre