I - -V' d\, et / =7 tf\ — d-(i — xy-P
Si donc l'intégrale
tend vers une limite quand x tend vers Tunité, celte limite sera celle du produit
(I — xy-pF{x),
Or l'expression (6) a une limite que nous allons facilement trouver. Au lieu de l'intégrale précédente, nous pouvons prendre l'intégrale
r'^x^d^xY-p ...
qui n'en diffère que par la valeur
(,-x)-/.jr'grfx,
qui a un sens parfaitement déterminé, puisque p<i, et qui tend vers zéro pour x = i. Posons, dans l'intégrale (7), x = e~* ; a sera positif et tendra vers zéro.
Nous aurons alors à étudier l'intégrale
faisons enfin aX ^ Y, il vient
L'intégrale qui est en facteur ne dépend plus de a; elle a une valeur parfaitement déterminée, car, pour Y = o, la fonction sous
le signe d'intégration est de l'ordre de rr->/> étant plus petit que
l'unité; et pour Y très grand, la fonction e~^ est inférieure à toute
puissance ^-^ > m étant une quantité positive quelconque.
Quand on fait tendre a vers zéro, le premier facteur tend vers l'unité; nous avons donc
Si nous introduisons l'intégrale
V(p) = / e-'^xP-^ dx^
dont le sens est déterminé quand /? > o, et que l'on désigne sous le nom à' intégrale eulérienne de seconde espèce^ nous pourrons
écrire
lim (i— a?)»-/'F(j7) = r(i— /?).
11. Du résultat précédent nous allons déduire un théorème démontré par M. Appell [Sur certaines séries ordonnées par rap- P. - I. i4
2IO ÊQUATIOrV DB LAPLACE. — DÉYELOPPEVENTS EN SÉRIES.
port aux puissances croissantes dUine variable {Comptes rendus, t. LXXXVII).
Soit une série
f{x) = ao-i- «1 J*-T-. . .-h anX'* -f-. . . ,
dans laquelle les coefficients a sont positifs. On suppose que
lim annP= k,
A* étant une constante différente de zéro, et p un nombre positif. La série est évidemment convergente quand x est compris entre H- 1 et — I . Elle diverge pour .r = i , si /? est inférieur à l'unittS
comme la série de terme erénéral — •
^ nP
Mais le produit
(i — xy-pfix),
tend vers une limite, comme nous allons le montrer.
La solution sera immédiate, en se reportant au paragraphe précédent.
Nous avons, en effet, à partir d^une certaine valeur de w,
en désignant par k\ et A2 deux nombres tels que la suite
o, Ati, A', A'i
soit rangée par ordre croissant de grandeur.
Prenons dans /(jc) les termes à partfi* du /i^'"* seulement, et posons
Si l'on considère les deux séries
A|3-^* A-jj-»-»-»
nP "^ (/1-+-1)/'
Aiir« ktx^^^
on aura
ox{x){\ -^ xy-p <^o{x)(\— xY-p <^i{x){\ — xy-p \
mais le premier et le dernier terme ont respectivement pour limites, quand x tend vers iin^
kir{i—p) et A-,r(i— />).
Par suite, le produit/(^)(i — x)*~p sera compris, quand x sera
infiniment voisin de l'unité, entre deux limites infiniment voisine*
des deux limites précédentes. D'autre part, on peut prendre A'i
et ^2 aussi voisins qu'on veut de A* ; par conséquent, nous pouvons
conclure que
limd — xy-f f(x) = kVd p),
12. C'est dans la théorie des fonctions d'une variable complexe que nous verrons surtout l'intérêt des séries procédant suivant les puissances entières et croissantes de la variable. Nous terminerons ce Chapitre en indiquant une proposition générale due à M. Hadamard (*), qui peut être utile pour déterminer l'intervalle de convergence de la série
Faisons d'abord quelques remarques préliminaires. Soit une suite infinie de nombres positifs
(2; Mo, M|, ..., u
fftj
Il peut arriver que cette suite contienne des termes supérieurs à t.out nombre donné, si grand qu'il soit. Supposons qu'il n'en soit pas ainsi, c'est-à-dire que tous ces nombres restent inférieurs à mine quantité assignable L. On pourra alors distinguer deux classes de nombres. Dans la première, on mettra tout nombre A tel qu'il existe toujours dans la suite S, à partir d'un rang aussi élevé que l'on veut, des termes supérieurs à A ; on mettra dans la seconde tout nombre B, tel que tous les termes de la suite S, à partir d'un certain rang, soient moindres que B. Ceci posé, considérons deux de ces nombres A et B (A<^B); on peut prendre, par exemple, A = o et Bii^L. Partageons l'intervalle (A, B) en deux parties ëgales ; si le point de subdivision est de seconde classe, nous le sub-
(') Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable, par M. Iladamard {Comptes rendus, t. CVI).
ÉQUATION DE LAPLACfS. — DÉYBLOPPEVENTS EN SÉRIES.
stituerons àB, sinon nous le substituerons à A. Dans Tun et Tautre cas, nous aurons un intervalle réduit de moitié, dans lequel la limite supérieure sera un nombre de la seconde classe, et la limite inférieure un nombre de la première. On opérera de la même manière sur ce second intervalle, et ainsi de suite. Tous ces intervalles étant compris les uns dans les autres et tendant vers zéro, leurs limites inférieure et supérieure tendront vers une limite a. La quantité positive e étant aussi petite qu'on voudra, a — e appartiendra à la première classe et a 4- e à la seconde.
Cela posé, supposons que la suite des u soit formée des quantités
et admettons que y a^i soit, quel que soit m, inférieur à une quantité déterminée. Soit toujours a le nombre correspondant à cette suite. Nous allons démontrer que la série
converge si\x\ <! -et quelle diverge 5/ | x | > - •
En effet, à partir d'une certaine valeur de /*, le nombre positif e étant donné à Tavance, on a
donc
y\an\.\x\ <(»-+-£). |x|;
par suite, la série sera convergente si (a-f- e). |x| est plus petit qu'un nombre plus petit que l'unité ; donc si
la série convergera. Mais s et r, sont des quantités arbitraires aussi petites que l'on voifdra; la série convergera donc tant que
De la même manière, on peut trouver dans la suite (S), à partir
INTÉGRATION DES SÉRIES. 2l3
d'un rang aussi élevé qu'on voudra, un terme \'a„ tel que
donc
Par suite, si
on aura
La série contiendra donc des termes, d'un rang aussi élevé qu'on voudra, supérieurs à l'unité; elle sera divergente. Le théorème est complètement établi.
13. Quand on passe d'une variable à deux variables, les séries analogues aux séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes, que nous venons d'étudier, sont les séries de la forme
Mo-+- Mi(:r, 7)-4-...-i- Un{or, y) -4-...,
OÙ ii„(x,y) désigne un polynôme homogène de degré n en x et y. Il n'existe pas de théorème analogue à celui qui est la base de la théorie des séries entières : si une série de la forme précédente converge pour x = Xq^ y=yQ^ elle ne convergera pas nécessairement pour
On peut cependant faire la remarque suivante, dans laquelle nous imitons ce qui a été fait pour le cas d'une variable. Écrivons
UniXyy) = ao-r«-+- ai j"»-1j^ -f-. . .-4- crn^r".
Supposons que les termes
des polynômes Un soient inférieurs en valeurs absolues à un nombre fixe K. La valeur absolue de u„{x,y) sera moindre que
\ I xo
Xq
roi /
Soit a la plus grande des deux valeurs
sera moindre que
et
; ce terme
Si donc a esl plus petit que l'unité, la série proposée sera convergente. \insi, sous Phypothése faite, la série convergera pour
Soit ^ <C I J"o I t-l /> < î ^0 1 i la série sera uniformément convergente à rinlorieur du rectangle ayant pour centre rorigine et ses côtés parallèles aux axes avec les longueurs respectives ia et 2 b.
SÉRIES TRI60N0MÊTRIQUBS. 21 5
