I. — Oénéralités. — Intégrales de Dirichlet

1. Des séries trigonomélriques paraissent avoir été considérées pour la première fois par Daniel Bernoulli, à propos du problème des cordes vibrantes. Euler a le premier indiqué le procédé de détermination des coefficients d'une série trigonomélrique.

Dans un Mémoire de 1777, publié dans les Acta nova Acad. Scient. Petrop., t. XI, 1798, Euler dit incidemment que, si l'on a le développement valable entre o et 27:,

(i) /(ar) = ao-f- ^^(amcosmx -h bm^inmx) {m entier positif),

les a et les b étant des constantes, développement auquel on donne le nom de série trigonomélrique, on pourra déterminer les coefficients de la manière suivante. Remarquons d'abord que l'on a

f cosmx cosnxdx = 0^ si m-^n\

,2lt

/cosmx sin/ia7û^ = O, même si m -=11'^

f sin 77107 sin/ixe/x = O, si m:^n\

/ cos*/7ia7û?j? = / sin*77ia7cte = TT et / dx =■ itz.

Multiplions maintenant les deux membres du développement (i).

Sil6 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVRLOPPBVBIfTS EN SÉRIES.

dans lequel on remplace x par a, par cos/warfa, et intégrons entre o cl 2t:; on trouve

a,n= - I /{oL)cosmadoL.

De la même manière, en multipliant par sinmae/a, on trouve

bm= - I /{i)sinmoid%; enfin, pour m = o, on a

Les séries (i), ou les coefficients sont exprimés par la loi précédente, sont généralement désignées sous le nom de séries de Foulier. Ce grand géomètre a, en effet, montré dans sa Théorie delà chaleur leur extrême importance en Analyse ; il a le premier osé affirmer que toute fonction pouvait être représentée par un développement de ce genre, valable entre o et 27u, et qu'un même développement pouvait, entre ces limites, représenter des fonctions qu'on considérait comme distinctes, c'est-à-dire représentées graphiquement par des arcs de courbes difTérenles. Il y a plus, Fourier, sans traiter cette question d'une manière absolument rigoureuse, a trouvé les véritables bases de la théorie ( * ), développée par Dirichlet dans un Mémoire que nou§ aurons tout à l'heure à étudier.

2. Si l'on se reporte au Chapitre précédent sur les séries uniformément convergentes, une objection immédiate se présente relative à la détermination des coefficients. Celle-ci n'est rigoureuse que si la série (i) est supposée uniformément convergente entre o et a?:. Ne nous préoccupons pas, pour le moment, de cette objection et, prenant les coefficients tels qu'ils ont été déterminés, cherchons si la série ainsi obtenue est convergente et représente

(•) Voir en particulier, dans la Théorie analytique de la chaleur, de Fourier, le Chapitre IX et la Note de M. Darboux, à la p. Su de son édition de Fourier.

SÉRIES TRIGONOMÊTRIQUES. 2iy

La somme S^ des m -4- i premiers termes de la série peut s'écrire S,„ = - j -4- cos{a -x) -:-. . .H- cosm(a — x)\/(2)d'x\

le terme général est, en effet, -1 f(oL)(cospoLCOspx-^sinpoisiDpT)dx—- j cos/>(a — r)/(a)r/a.

La suite

— h ces { 1 - - X) -h . . . -^ cos m(oL — X)

est facile à sommer; elle est égale à

sin ( 2 /?i H- I ) I

1 sin

•Jt

comme on le voit de suite en remplaçant les cosinus par leurs va leurs au moyen d'exponentielles. îSous avons donc

^îi:

sin I (2/?z ~ i; I

•2 sin

OU, en posant = v.

I r sin (2m — Dv

Nous devons chercher si S,„ a une limite quand m augmente indéfiniment.

3. L'intégrale précédente se ramène, comme nous le verrons bienlôt, à des intégrales de la forme

, r sin Air , , " f >^

h étant une constante et A* étant un entier impair 2/i -H i, qui va

2l8 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEVE.\TS EN SÉRIES.

croître indéfiniment. Nous allons d'abord nous occuper de cette intégrale et chercher si elle tend vers une limite quand k augmente indéfiniment. Cette étude a été faite pour la première fois d^une manière entièrement rigoureuse par Dirichlet {Journal de C relie , t. 4; 1829). Nous suivrons Tanalyse de Tillustre auteur. Commençons par calculer Tintégrale

* $in(^/i — \^T

dx :

on a