UX

( — -- C0S2X -^. . .-^ cosanxj:

de là résulte immédiatement

/** sin(5i/i -^ Oj" , ^7:

Revenons à Tintégrale proposée en supposant d'abord que la fonction 'f(x) reste continue et positive entrée et A, et n^aille jamais en croissant. Nous partageons le champ d'intégration en intervalles

r désignant le plus grand multiple de t contenu dans h. Nous avons ainsi la somme d'intégrales

r^ s'inAx . r *' sinXiT , . r^sinkx , ^ .

/ oix)ax-^...-r- I ^^ oix)ax-h...-^ 1 —. ?(ar)<tr.

.A Mil a:- ^ f ^ sinj7 '^ ^ / ^ sina? ^ '

•^0 « mit *^riz

Les termes de cette somme sont alternativement positifs et négatifs, et décroissent en valeur absolue. En efiel, soient deux intégrales consécutives

C sin/a: , , . /* sinA.r , . , / — : o(x)ax et / — : o(x)ctx;

«'mu

SÉRIES TRIGONOSIÉTRIQCES. 219

on ramène la seconde à avoir mêmes limites que la première, en posant X = j -h -JC^'y elle devient ainsi

• sinA'ar

Or, en verlu des liypolhèscs faites, le facteur — — est

moindre que le facteur \ - - de la première intégrale; les deux intégrales sont donc de signes contraires et la seconde est moindre en valeur absolue que la première. Nous pouvons donc écrire

chaque terme u étant moindre que le précédent elle terme général étant

(m-* - liTl

sinA^J'

niTZ

Effectuons le même partage pour l'intégrale auxiliaire

* sinX:.r , ,

— : dx ( A' = 2 /i -^ I).

Nous aurons

en posant

Q sinj7

iWl-t- Il 7t P,n =-■ (— l)"' / ..;„ dx.

sm J*

De (2) et (3), on conclut

(4) Wo— Wl -..— Wjm-l < J <Uo— Ui-^...— Uifny

(5) po — pi -H. . .-- Pîm-i < -■ < po — p! -+-• • --H ?îw

Si maintenant, dans le terme général u„ti nous remplaçons '^{x)

par sa limite supérieure ^( -/-)• P"*- P*''* =^ limite inférieure

-rP^]

• DOU3 aurons

/mn ^ [i m — ''"^l ? ( -^ ) ?m > "'" > r I x^ I ?«■

Nous allons nous servir de ces inégalités pour trouver deux limites de J. Dans le premier membre de Tinégalilé (4\ remplaçons les termes d'indice impair par des termes plus grands et ceux d'indice pair par des termes plus petits : dans le second membre, remplaçons les termes d'indice pair par des termes plus grands et ceux d'indice impair par des termes plus petits : les inégalités subsisteront. Ceci nous donne

?îm

La seconde de ces inégalités peut s'écrire el a fortiori

J <5{o)po— 9( — ^— )(?! -?i — ■•• -?t/n-I — PtmK

cl enfin

J < U^>) — ^ (?^ jj oo- :p (-^-' )r s,- pi - pî -. . .-^ ?f«).

Quant à la première inégalité, on la met immédiatement sous

la forme

/'xmT,\ , .

J > ? \--/7-) ( ?o — Pi -*- . • . - Pî/ii-i ).

!>;» deux inégalités précédentes peuvent, en vertu de l'inégalité (5), s'écrire

SÉRIES TRIGONOSIÉTRIQOES. 221

Il est d'autre part facile de trouver une limite pour pm* On a

ou bien

Pm<

(m-t-liic

sin kx clx.

lin . . . f***^

mi:

. mr. k

. niTz mi:

Nous devons maintenant faire croître A* indéfiniment. Faisons en même temps croître m indéfiniment, de manière que lira-r- = o

(il suffira, par exemple, que m soit le plus grand entier contenu

dansy/Â'); p^ tendra vers zéro, d'après l'inégalité précédente. De plus po reste fini, puisque