TZ TZ

sin T k

On voit alors que l'intégrale J reste constamment comprise entre deux quantités qui tendent vers -'f (o).

Nous arrivons donc à la conclusion suivante

i. Pour arriver au résultat précédent nous avons fait quelques' hypothèses, dont il est possible de s'affranchir. Nous avons supposé que la fonction continue 'f (x) était positive et n'allait jamais en croissant dans l'intervalle de o à A.

Tout d'abord la fonction <p(^), en gardant la seconde hypothèse, peut être négative, car si G est une constante telle que C-i-o(x) soit positif, comme le théorème est démontré quand la fonction cp se réduit à une constante, du théorème relatif à C-+- f (^) on déduira le théorème pour ^(x).

Supposons maintenant que <p(^)) ayant un signe arbitraire. Draille jamais en décroissant de o à A, on pourra appliquer le théorème à — ?(^) et par conséquent, en changeant les signes, à cp(^).

222 ÉQUATION DE LAPLAGE. - DÉYELOPPEMBNTS EN SÉRIES.

Ainsi ^(x) peut avoir un signe quelconque, pourvu qu'elle varie constamment dans le même sens.

On peut aller plus loin. Considérons d^abord, g étant compris entre o el A, Tintégrale

Je dis que sa limite sera zéro quand A* augmentera indéfîniment, si ^{x) varie dans le même sens de ^ à h. Considérons en effet une fonction ç< (ûr) qui coïncide avec ^(ff)i x variant de o à ^, et avec ç(^) quand x varie de ^ à A. D'après ce qui précède, les limites des deux intégrales

—. ^x^x)dT »'! 1 —. '^i(x)da:

seront toutes deux égales à -'^^ (o) : leur différence (6) tendra donc

vers zéro.

Ceci posé, admettons que, dans l'intégrale

sin AJ»

/ —. o{T)dx,

/ »\nx •

o(x) ne varie plus constamment dans le même sens, mais qii*elle ait entre o et h un nombre fini de maxima et de mini ma. On pourra évidemment partager l'intégrale en une somme d'intégrales, entre les limites desquelles la fonction variera dans le même

sens. Celle de ces intégrales qui a zéro pour limite tend vers - »(o),

les autres tendront vers zéro.

Nous avons donc en résumé

sin A-a?

r sinA-o? ~ ^

Iim / — : ?(a:) o-r = - ©(o),

sous la condition que la fonction continue ç)(a:) n'ait qu'un nombre limité de maxima et minima.

Il y a des fonctions continues qui, dans un intervalle limité, peuvent avoir un nombre infini de maiima et de minima; telle est,

SÉRIES TRIGONOMÊTRIQUES. 223

par exemple, la fonction jrsin— dans le voisinage de jc = o. De

telles fonctions sont exclues de notre analyse.

Nous avons suivi dans Tétude de l'intégrale J la méthode de Dirichlet. On trouvera encore une étude rigoureuse de celte intégrale dans le Leau Mémoire de M. O. Bonnet couronné par T Académie royale de Belgique {Mémoires des Savants étrangers publiés par l'Académie de Belgique, t. XXlll).

o. Nous avons jusqu'ici supposé h compris entre o et - • Quand h esl compris entre - et ir, les résultats précédents subsistent. Pour

le montrer, il suffira d'écrire

J= 1 — ; o(x)ax-^ I — : z,(x)ax.

J^ 9>mx ^' J^ sinx '^

Faisons dans la dernière intégrale jc = tt — x'; elle deviendra

r—-r ?(7^ — x)ax y

TT — h

dont la limite (§ 4) est zéro. Donc nous avons encore

limJ = - ©(o).

Cette extension suppose que h ne se confond pas avec tt. Si A = r, la seconde intégrale donnera - ^(r^) et on aura alors

J'ajoute une dernière remarque. Il peut se faire que la valeur de la fonction f (^r), supposée continue entre o et /i, ne soit pas, pour j: = o, égale à la limite des valeurs que prend cp(.r) quand ;r lend vers zéro. La fonction <p(^), en général continue, pourrait être discontinue pour le passage par zéro, de telle sorte que ç(-i- a) tende vers une certaine limite, quand a tend vers zéro, et que ç( — a) ait également une limite, mais différente de la pre-

2 24 tQCATI05 DE LAPLACE. — DÉTELOPPE1E5TS E5 SÉIIBS.

miêre. Ce genre de disconlÎDuités ne doit pas être exclu de notre analyse; il suffit de remplacer ^(o), partout où nous Tavons écrit, par ^(-t- £;, en désignant ainsi, avec Dirichlet, la limite de ^(4- a) quand la quantité positive z tend vers zéro. On aura alors

lim 1 — r :;( jr ) or = -5{— £).

l/unc manière générale, on aura aussi

i. /"*«inX.r , T, . ^ xT

Iim 1 -— : 5(-r»ajr = - I 5( — £) -h ç(r — £)l,

en désignant par '^(t: — s) la limite de 9(7: — z) quand la quantité positive a tend vers zéro. •

Il est d'ailleurs Lien évident que la fonction ^(x) peut avoir entre o et h un nombre fini de discontinuités par sauts brusques de valeurs: nous avons déjà parlé de ces discontinuités (Chap. I**",

Ainsi, en résumé, les hypothèses faites sur la fonction o(x) sont 'es suivantes : elle reste finie, est en général continue^ peut pos* sérier un nombre limité de points de discontinuité de la nature indiquée, et enfin n*a quUui nombre limité de maxima et de minima dans r intervalle considéré.

Les conditions précédentes représentent des conditions suffisantes pour que

limJ = - o(-+- £);

elles ne sont nullement nécessaires. La recherche de conditions suffisantes de plus en plus étendues, pour que le résultat précédent subsiste, a fait Tobjet de travaux très nombreux et d'un grand intérêt. Nous ne pouvons même pas songera les énumérer ici (•). (litons seulement un résultat très général dil à Lipschitz, relatif aux fonctions ayant un nombre infini de maxima et minima, les autres conditions étant satisfaites {Journal de Crelle, t. 63). Lia condition suffisante de M. Lipschitz est la suivante : il suppose

(*) tin ICnsai historique sur la représentation des fonctions par une série tri- K(>n(>inétri(|ue a été publié par M. Arnold Sachsc {Bulletin des Sciences mathématit/ueSf 18S0).

que, pour loule valeur [3 dans le voisinage de laquelle la fonction cp(j?) a une infinité de maxima et de minima, on ail, pour 5 suffisamment petit,

|o(3-* o)cp(3)|<.\o^

A étant une constante et a un exposant positif (').

Mentionnons encore les recherches de M. Jordan {Comptes rendus, 1881), où l'éminent géomètre introduit la notion de fonction à variation limitée.

Dans la suite, nous ne considérerons que des fonctions satisfaisant aux conditions indiqués plus haut, en faisant toutefois une exception pour la première de ces conditions. Dans un cas étendu, en effet, on peut s'affranchir de la condition que la fonction 'f (x) reste finie, comme nous allons le montrer.

6. Considérons donc une fonction '^{jr) devenant infinie pour X ^^^ Xq. On suppose que, de Xq — s à ./'o et de x^ à jTqH-c, la

(*) Remarquons que, dans tous les cas, on a

lim / — : ff(x)ax— -?(o),

même quand la fonction continue 9(0;) a une infinité de maxima et de minima, pourvu 'que les points correspondant à ces maxima et minima aient un nombre fini de points limites et qu*aucun de ceux-ci ne coïncident avec le point x = o. Il suffira, pour rétablir, de considérer le cas où il y aurait entre o cl /(, un seul de ces points limites, soit x — ol. Nous partagerons l'intégrale en troi^ parties :

/ —. ^{x)dx-\-l -. z{x)dx-^l -. o{x)dx,

c étant une quantité donnée à l'avance, d'ailleurs aussi petite qu'on voudra; c'est seulement dans l'intervalle (x — e, s + e) que la fonction aura une infinité de maiima et de minima. Ceci posé, la première et la troisième intégrale tendront

respectivement vers — ?(o) et o, quand k augmentera indéfiniment. Quant à la

seconde, on peut l'écrire

sinAÇ ,g.

\ étant compris entre a— e et a + e> Donc, quel que soit A*, elle est moindre que Ac, A étant un nombre fixe, et comme e est aussi petit qu on veut, on en conclut Tégalité annoncée.

226 ÉQUATION DE LAPLACB. — DÊ¥ILOPPBMR.\TS BX SfiftlBS.

foDCtion conserve un signe constant. De plus, Tintëgrale

tend vers une limite quand x tend vers x^ en lui élanl inférieur ou supérieur. On va démontrer que, dans ces conditions, la formule fondamentale subsiste. Reprenons Tinlégrale

' sinA-.r

/• sinA-.r ,