II. — Série de Fourier. — Ordre de ses coefficients

Sa convergence uniforme.

7. Revenons maintenant à la série de Fourier, c'est-à-dire à la série trigonométrique où les coefficients sont exprimés par les intégrales définies données au § 2 de ce Chapitre. En faisant la somme des m ■+- 1 premiers termes, nous avons trouvé

C'est la limite de S;„ pour m = oo que nous nous proposons de trouver, en supposant que la fonction /(x) satisfasse entre o et 27î aux conditions de Dirichlet.

Supposons d'abord que .r, qui va rester compris entre o et au, ne soit égal à aucune de ces limites, ni à une valeur de x o\i/(x) devienne infinie. Ecrivons

i /•'' sin(am-^.)-f

sin(^2/n -h i)y j., . ,

binY

La seconde intégrale est de la forme de celles qui ont été étudiées au § 5 ; sa limite sera donc

ce sera - f{x) si la valeur x ne correspond pas à une discontinuité de la fonction. Quant à la première intégrale, il suffit d'j changer

Y en sera

ÉQUATIO^ï DE LAPLACE. — DfiVELOPPBVEMS EX S&llBS.

y, et Ton est ramené au type étudié. La limite pour m = x

Ainsi donc, pour la valeur considérée de x, la série de Fourier converge et a pour limite

Cette limite sera f{oc)^ si x n'est pas une de ces valeurs, par hypothèse en nombre limité, pour lesquelles la fonction soit dis-

Fig. i3.

-iK

continue. Ainsi soit, par exemple, une fonction /{t) représentée par \dL fig. i3: on suppose que la courbe

corresponde à Tare continu AB, x étant compris entre o et a,

puis à Tare CD, x variant entre a et ^, et enfin à l'arc EF entre ^ et 27:.

Pour toute valeur de x distincte de o, a, ^, a?:, la série Irigonomé trique représentera Tordonnée correspondante de la courbe. Pour jr = a, que représentera la série Irigonomélrique? Ce ne

sera ni aB, ni aC, mais, d'après la formule (6), leur demi-somme, car on a évidemment

Supposons maintenant x z=o ou 2?:, ce qui doit donner néces-

SÉRIES TRIGONOXÊTRIQUES. 22g

sairement le même résultat. On aura

nous aurons donc^ comme limite, diaprés le § o,

Ce cas est à considérer, en quelque sorte, comme un cas de discontinuité. Si Ton enroule, en effet, la figure sur un cylindre, la longueur (o, aie) devenant une circonférence, rien ne distinguera plus le passage brusque de A à F des autres discontinuités lie la fonction.