III. — Intégration par parties. — Formule de Taylor

Changement de variable.

9. Nous venons de voir qu^étant donnée une fonction continue f{x)^ il existe toujours une fonction continue ayant f{x) pour dérivée; on sait d'ailleurs que toutes les fonctions continues ayant même dérivée ne diffèrent que par une constanle. Quant à la recherche efTeclive de cette fonction, elle ne peut pas en général être faite 5 c'est qu'en effet Topération de l'intégration conduit le plus souvent à une transcendante nouvelle, qui n'esl pas susceptible de s'exprimer à l'aide de fonctions introduites auparavant dans l'Analyse mathématique. On voit donc, dès le début du Calcul intégral, s'introduire au moyen de rintégralion un nombre illimité de fonctions nouvelles. Nous étudierons bientôt (pielques cas particuliers en j)renant j)our /(.r) des fonctions très-simples.

I^e procédé d'intégration dit par parties permet de transformer une intégrale en une autre, et il y a là souvent une facilité pour la recherche effective de cette intégrale. Soit l'intégrale

dv

u et i' désignant deux fonctions continues de x. Eu se servant de

la formule

dv d{uv) du

dx dx dx

nous aurons imniédiatcmenl, en multipliant par dx et intégrant de a à t,

J '^Tx'^- = ^^<-^l ^5ï^f'

où («r)* représente la différence des valeurs du produit uv pour X =:a cl X =^b. On voit que les calculs des deux intégrales

-,— ax ^ dx

se ramènent l'un à l'autre.

Plus généralement, on peut ramener Tune à l'autre les deux

intégrales

r dnç ^ r dnu ,

1 " -f — dx et 1 r ,-— dx^

I dx" J tfx"

OÙ —, — et -, — désiiirnent les dérivées d'ordre n des fonctions // dx « dx" ^

et V de X, On le verrait sans peine en appliquant n fois de suite l'intégration par parties; mais, pour obtenir la formule finale sous une forme plus élégante, prenons, avec M. Kroneckef (*), deux fonctions /(j:) et g{x), et partons de l'identité

fih)(x)g'"-f'H—x)-~'f^'^-'^'>{x)g^"-'^'^^^{-x)

D'une manière générale /'"^(^) désigne, suivant l'usage, la dérivée d'ordre n de /(x), et g^"^ ( — x) la dérivée d'ordre n de g{x) où l'on remplace x par — x.

Faisons successivement dans (4) /i -- i, a, • . • , 't et additionnons. On aura

(') Ueber eine bei Anwendung der pnrtiellcn Intégration niitzlische Formel {Mémoires de l'Académie de Berlin, i884 ).

INTÉGRALES DÉFINIES. l5

et, si l'on intègre entre a et 6,

Le calcul de la seconde intégrale se trouve donc ramené à celui de la première.

10. Indiquons deux applications de la formule précédente. Posons

(x-h by

nous aurons

f F{»-4-i)(a:)^^ ^dx-f ¥'ix)dx

=2hw^^"]>-2'»'<">',^^

et en développant

Ce5i la formule de Taylor. Le reste se présente sous la forme d'une intégrale définie. Il est facile de mettre ce reste sous la forme habituelle, en se servant du théorème démontré au § 3. On peut, en effet, écrire

f F^n^i^(x)^-^-^dx = F^n-^yHk) f ^-^—-^dx J„ 1 . 2 ... 71 J 1 . 2 . . . /l