On aura ici
ttfn^. ^ I cos mxdx — -- / cosmxdx = o,
et ce résultat est valable aussi pour m = o. D'autre part
b,,.= -; I sinmxdx'--r 1 s'in mxdx= (i — cos/Ttr);
4 Jo 4 J^ ^'fi
donc pour m pair, b„i -- o ; pour m impair, ^/w = — • Le développement cherché est donc
sinj- sin3.r sin5x I 6 5
Pour :r = 7c, point de discontinuité, la somme de la série est nulle; c'est bien la demi-somme des deux valeurs correspondantes de la fonction.
Comme exemple de fonction devenant infinie entre o et a-re, prenons la fonction
Elle devient infinie pour jc = TZy mais l'inlégrale
j log cos* - dx a une limite quand x tend vers tt. Pour s'en assurer, il suffit de
poser cos- = >' et on a l'intégrale
/*•' lf>*r v' dy
dans laquelle y tend vers zéro par des valeurs qu'on peut supposer positives ; l'intégrale
•' loR.r dy
comparable à l'intégrale
r- log.r dy
J Ji-yt
j ^o^yày =y\o^y'-y.
a nécessairement une limite pourj'= o.
SÉRIES TRIGONOVÉTRIQUES. 23 I
Le développement
logcos*— =«0-^- ^ («//i co.s/W3^ -^ b,„^inmx)
aura pour coefficients
log cos' - dx.
a,„~ - I logcos' -cos/WT^jT,
^in ~ z I \oQCOS- - s'inmx dx.
La valeur de bm est nulle, car les éléments correspondant à x et à 2TZ — ^ se détruisent deux à deux.
Quant à la valeur de «/,,, elle se calcule sans peine en se débarrassant du logarithme, qui figure sous le signe d'intégration, au moyen d*unc intégration par partie. On trouve ainsi
(- I )"' et
«0 ~ — a log 2.
9. Les séries Irigonométriques auxquelles nous sommes parvenu dans les exemples précédents, en appliquant la règle de Fourier, sout de la forme
A = ûfo-f- «1 cosO -+- at ros2 6 -+-... ^ ri,i cosnO -f-. . .,
les coefficients, dans ce développement, étant tous ou de même signe, ou alternativement positifs et négatifs. Il est facile de démontrer qu'une pareille série est convergente, lorsque les coefficients vont en décroissant en valeur absolue et que la limite de an est nulle.
Admettons d'abord que tous les coefficients soient positifs, et
posons
A;, = «0-+- Ox cosO -4- at COS2O -i. . .h- a,, cos/i6.
En multipliant les deux membres de cette égalité par 2 sin ->
qui est différent de zéro, si 6 n'est pas égal à un multiple de 2iz, on obtient
m-=-n nt=.n
A • ^ \7 - . 6 \i / . im-\-\ . 2m— lA 2A;»sin - = > 2a,„ cos/nO sin - — X^/n ( sin ; — sid j,
d'où, en ordonnant par rapport aux sinus,
2 Art Sin - = flfo sin - -r- ( ao — ai ) sin — h . . .
-h (a,,i — a„) Sin — — -h a^ sin 6.
Laissant de côté le premier ternie de cette formule et le dernier qui a pour limite zéro, nous remarquerons que la série à termes positifs
est convergente et a a© pour somme, puisque
et que la limite de a„ est zéro. Cette série sera encore convergente quand on multipliera respectivement ses différents termes
• 0.30 .7./1 — ift . ^1 .. ,
par sin - » sm - - > • • • > sin Q, ..., qui sont des quantités moin-
dres que un en valeur absolue. Donc la série A sin - est convergente, et par suite la série A, sauf peut-être pour Q = 2 Au.
Si la série A était à termes alternativement positifs et négatifs, il suffirait de changer 6 en tz — 6 pour être ramené au cas précédent.
On démontrerait de même la convergence de la série
B = ^0 -+- ^1 sin -H 6j sin 2 H- ... 4- 6/, sin /i -4- ... , les conditions étant les mêmes que pour la série A.
10. Revenons à la série de Fourier ; une question capitale se pose. Peut-on, d'une manière générale, avoir une limite supérieure de la valeur absolue des coefficients a m et ft,„?
La fonction f{x) satisfait toujours aux conditions de Dirichlet ;
SÉRIES TRIGONOM ÉTRIQUÉS. a3
upposoDS d*abord qu'elle reste finie. Nous considérons
a„^ " ~ I /(x)cos mxdx.
Partageons riulervalle (o, 'iiz) en intervalles tels que, dans <::=hacun d'eux, la fonction soit continue et varie toujours dans 1 e même sens. Soit
— I /(x)cosmx dx
^.'intégrale correspondant à un de ces intervalles et soit, par exemple, /(jr) non croissant de a à fi ; on aura, d'après le tbéo- :M'cme de M. Bonnet (Cbap. VIII, § 6, en note),
' /{x)COsmxax —/(ol) I cosmxdx = /(ot) ^ »
5 étant compris entre a et [i. Une formule analogue se calcule si
^f{x) ne décroit pas de a à ^. Dans les deux cas, le point capital
est la présence de m au dénominateur, tandis que le multiplicateur
de — reste fini. En groupant les intégrales précédentes, qui, par
hypothèse, sont en nombre limité, on aura
A étant une constante fixe convenable, indépendante de /;?, et on a pour bm une formule analogue. Ainsi a„i et bm tendent vers zéro et l'on voit clairement, dans le cas général, leur degré de petitesse pour m très grand. Le résultat précédent est bien digne
de remarque : puisque la série de terme général — est divergente,
la convergence des séries de Fourier est due, en général , aux variations de signe que présentent leurs termes,
II. Les choses sont un peu moins simples quand la fonction /(x), satisfaisant aux conditions de Dirichlel, devient infinie. Nous allons faire une bypolbcse particulière sur la manière dont f{x) devient infinie. Soit Xo une valeur entre o et ^ir, pour
laquelle /(j*) soil infinie; on supposera que, dans Tinlervalle de a à ^0 (^<C^o)î/(^) puisse se mettre sous la forme
©(j?) variant dans le même sens de a à ^o cl <p(^*o) ayant une valeur déterminée différente de zéro. On aura une expression analogue pour Tinlervalle de :ro à ^ (P>«ï'o)* Pour tout intervalle ne comprenant pas le point x^^j la part de l'intégrale est de
l'ordre de — • Considérons maintenant l'intégrale
(o) 1 -- -' — cosmxdx.
La valeur de cette intégrale, en supposant, pour fixer les idées, que o{x) ne croisse jamais de a à j'o? sera de la forme
Posons m{aro — a:)--r; on aura
Or les deux intégrales
/^ • ^ cosr , r • smv ,
/ — ^ ar et / .— ay
ont, quels que soient m et Ç, des valeurs absolues inférieures à un nombre fixe ; en effet les deux intégrales
ont un sens parfaitement déterminé, comme on le voit, par une méthode analogue à celle que nous avons suivie au § 17, Chap. I. Donc, en faisant tendre dans (9) s vers zéro, on voit que l'intégrale
/ : — • r- C0S/7IX dx.
sera moindre que le produit de — |^ par une conslanle indépendante de m. Il en résulte
B étant un nombre positif eonvenakie indépendant de ///.
La condition précédente, relative au cas oii la fonction devient infinie, n'est d'ailleurs nullement nécessaire. Une fonction peut devenirinfinie d'une tout autre manière et n'en être pas moins développable en série de Fourier. Que l'on prenne, par exemple, la série divergente à termes positifs
rt„- (ii-^. . . . -a
dans laquelle les coefficients satisfont aux conditions du j:; 9; la
série
/( ) — rty -i - «1 cos -i ... (f,n cos m -r . . .
convergera pour toute valeur de 6, sauf 0=v.A'7c, valeurs pour lesquelles elle deviendra infinie d'une manière évidemment arbitraire. On peut, de plus, remarquer qu'aucun ordre ne peut être assigné aux coefficients an, de cette série trigonomélrique convergente.
12. Dans bien des cas particuliers, on pourra avoir une approximation différente pour les coefficients. Supposons, par exemple, que la fonction /(x) n'ait aucune discontinuité, qu'elle admette 27C comme période et qu'elle ait une dérivée restant finie et satisfaisant d'ailleurs aux conditions de Dirichlet. Nous aurons, pour cette fonction
ctiu" I /{x) COS mr cl.r
et
b„t -- - I f{.r) s'in mx d.>
et, en intégrant par parties.
am= / /' {x ) ^'\i\ nix dx
et
6,„ = —- I /'(x)cosnix dx^
puisque/(o) =/(27:). En appliquant alors à Tinlégrale précédente le résultat du § 10, nous voyons que
A étant indépendant de m; par conséquent, dans ce cas, la série de Fouricr correspondant à la fonction /(x) sera absolument et uniformément convergente.
La remarque précédente peut évidemment être généralisée. Si la fonction y(x) et ses dérivées jusqu'à l'ordre p — i sont continues et périodiques (la période étant uiz), et que la dérivée d'ordre/? reste finie, on trouvera en intégrant p fois successivement, par parties, et appliquant le théorème du § 10,
A étant toujours indépendant de m.
13. Nous avons encore une question très intéressante à nous poser sur les séries de Fourier. Le calcul des coefficients, nous Tavons dit, a été fait en supposant la série uniformément convergente. En fait, la série de Fourier, que nous venons d'étudier, converge-t-elle uniformément? Il est évident qu'il n'en peut être ainsi dans un intervalle comprenant un point de discontinuité. Nous devons donc nous borner à considérer un intervalle (a, b) compris de o à 211 dans lequel ne se trouve aucun point de discontinuité.
Commençons par supposer que la fonction /{x) varie d'une manière continue dans le même sens de a à 6, et aussi un peu au delà de b et en deçà de a (a<^ 6), de telle sorte que a et 6 ne correspondent ni à un maximum, ni à un minimum ; la fonction /{x) sera, de plus, supposée positive, ce qui peut toujours être réalisé par l'addition d'une constante. De Thypothcse faite résulte qu'on peut trouver un nombre positif A tel que la fonction de y
SÉRIKS TRIGONOMÊTRKjLES. 'à3j
pour une valeur fixe x quelconque comprise dans Tlnlervalle (a, 6), varie dans le même sens, y allant de — h k -\- h.
Ceci posé, nous allons démontrer que la série de Fourier correspondant kf[x) converge uniformément dans riutervalle(a, 6). Reprenons à cet effet l'intégrale
—r- TZ J siny • ' •
Il faut étab'ir qu'on peut prendre Tentier impair A' assez grand pour que Sx i diffère de fix) de moins de e (s étant donné à
l'avance)^ quelque soit x dans V inlevKalle (a, b). Nous partageons, comme plus haut, Tintégrale en deux parties : nous allons
montrer que chacune d'elles tend uniformément vers '^ — -i il
suffira de prendre Tune d'elles, soit
- / - . ' f{jr ■'.- '27} «V.
nous la partageons elle-même en deux intégrales
if'-.r-
h étant le nombre fixé plus haut. La fonction de y, /{x H- liy), varie dans le même sens quand y va de o à A ; supposons, pour fixer les idées, qu'elle n'aille jamais en croissant. En nous reportant alors au § 3, nous avons, en posant
et entendant par m le même entier que dans ce paragraphe, soit le plus grand entier contenu dans y/A,
De ces deux inégalités résulte bien que J converge uni/orme-
nient vers sa limite 7/(-c), ^ étant dans rintcrvalle {a. b), c'està-dire que Ton peut prendre A* assez grand pour que J diffère de -/(x) de moins de £, quel que soit x dans l'intervalle indiqué.
Nous avons maintenant à considérer la seconde des intégrales (lo); elle est de la Torme
Il est bien facile de voir qu'elle est de Tordre de ; ; il suiïit de
raisonner comme nous l'avons l'ait (§ 11) pour déterminer l'ordre des coefficients. On en conclut que la seconde des intégrales (lo) est moindre, en valeur absolue, que
A étant une constante fixe convenable, et cela, quel que soit x dans l'intervalle (<?, b).
Il est donc établi que l'intégrale
^^j— ^/(^ -•n)^7 (A- impair),
(jui représente la somme des — — premiers termes de la série de
Fourier, diffère de /(x), pour k suffisamment grand, de moins de e, quel que soit x dans ^intervalle (a, b).
Les raisonnements précédents supposent essentiellement que la fonction f{x) n'ait ni maximum, ni minimum dans l'intervalle (a, 6), y compris les deux extrémités. 11 est aisé de lever ces restrictions. Les maxima et les minima étant, par hypothèse, isolés, puisqu'ils sont en nombre fini, considérons l'un deux. Soit, par exemple, x ^= Xq correspondant à un maximum y^ =/(^Xo) de la fonction /{x) positive dans le voisinage de Xq ; /(j^) croit de Xq — a à Xo et décroît de Xq à Xq-H a. Je considère la fonction continue Q{x) ainsi définie dans l'intervalle {x^ — a, Xq-^ a),
Q(X) —/(x) de J-Q—OL à Xq,
Q(J?)— ^0-^ F^[ro — /(•^;] de xo à Xo-^OL ([Ji>i). Cette fonction ira en croissant de Xq — a à Xq 4- a.
SÉRIES. TRIGONOMÊTRIQUES. 289
Considérons maintenant la fonction
P(x) = Q(^)-i-/(x), on a
P(x) — 'i/(x) (le ^0 — 3^ à vTo»
PC-^) =ro(i-+- !^) — (:^ — OA^) ^ï<i «^0 à j:o^-«: P(j:) ira aussi en croissant de x^ — a à j^oH- ^t. Or
/(jr)-=P{.r) ^Q(x),
Par suite, la fonction /{x) est la différence de deux fonctions variant dans le même sens de part et d'autre de Xq. Si donc on développe P(^) et Q (x) en séries de Fourier, il n'y aura aucune difficulté relativement à la valeur Xq, L'intervalle (a, b) peut donc contenir des valeurs de x correspondant à des maxima ou des minima.
En résumé, nous pouvons énoncer le théorème suivant :
La série de Fourier, représentant une fonction /(x) satisfaisant aux conditions de Diriclilety est uniformément convergente dans tout intervalle (f/, b) à l'intérieur duquel la fonction ne présente pas de discontinuités,
