III. — Sur les séries trigonométriques les plus générales

Théorème de M. Cantor.

li. Quand nous avons cherché les coefficients du développement

(il) /(^) — ciq-^ ^ (rt,„ cosmx -\- bfn ûnnix),

nous avons fait des intégrations qui supposaient la série uniformément convergente dans l'intervalle de o à 27c.

Si l'on veut que la série (11) soit uniformément convergente de o à ait, il est clair que le développement ne peut se faire que d'une seule manière. Mais, si on laisse de côté l'hypothèse de la convergence uniforme, on peut se demander s'il n'existe pas, pour représenter f{x)y un développement trigonométrique différent de celui de Fourier.

Nous bornant toujours aux fonctions satisfaisant aux conditions de Dirichlet, nous supposons qu'il y a égalité entre les deux

24o ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS E.N SÉRIES.

membres de (i i) pour toute valeur de x qui ne rend pas la fonction y infînie ou discontinue. On aura donc l'identité (ii), sauf peut-être pour un nombre limité de points entre o et 27r. Si deux développements de cette forme et dans ces conditions sont possibles, on aura évidemment, en les retranchant, une identité de la forme

(12) «0^- ^(a,;, coswo: -+- p,„ sin/nj^) - o.

pour toute valeur de x^ comprise entre o et 2-, sauf peut-élre pour un nombre limité de points.

Si on peut établir que tous les â et ^ sont nuls, Tidentité des deux, développements supposés sera démontrée. M. Cantor a, le premier, démontré que l'identité (12) ne peut avoir lieu que si tous les coefficients sont nuls [Journal de C relie, t. 72, et Acta mathematica, t. II). Son anal^^se s'appuie sur un théorème de Riemann, très intéressant en lui-même et que nous allons d'abord exposer.

lo. Considérons avec Hiemann [Cfe'//r/-e5 complètes (Ueher die Darstellbarkeit einer Function durch ei'ne trigonometrisclie Reihe, § 8)] une série trigonométrique

(X) -ATo-f- «1 cosj* -h />! sinx- . .-*- rï,i cos/ix 4- ^,1 sin/ix -r-. . .:

on suppose que

lim a,i = o, lim b,i = o.

Dans ces conditions, si Ton écrit

la série

que Ton déduit de la série initiale, en intégrant deux fois chaque terme, sera uniformément convergente de o à 27c, puisque A„ reste finie quel que soit x^ et représentera une fonction continue

SÉRIES TRIGONOXÊTRIQUES. 2^1

F(jr). Riemann considère le rapport

Si la série S converge pour une certaine valeur de x^ et a J{x) pour somme, le rapport précédent tend vers f{x)^ quand 2 tend vers zéro. Tel est le théorème que nous allons établir.

En remarquant que

an co%n{x -f- 22) -t- «,; cosAi( j" — 2a) — 2a,, cos /i.r = ia„ cosn:r(cos2/ïa — i ) — — \an cos/ij* sin*/ia,

bn sin n (.r -*- 2 a ) -+- bn%\i\n{T — -xol) — 2 b„ si 11 n .r = 2^« sin nx{cos'in'x - 1) — — \b„ sin /ir sin* ai 2,

o ti peut écrire

' F(t -'- o.%) -i-F( X — 'isL) -- 'i>.V{j') /sinatv* 4^[i -A„-^A. (--j .....

i . /sin/i2\«

Or, :r ayant la valeur particulière considérée, on a

Ao-H A|H- . . .-- A„ 1 ^ fix) £,|.

^^1., étant une quantité donnée à Tavance aussi petite qu'on '^'oudra, on peut trouver m tel que Ton ait

I î/i I < ^, si n±m.

De plus nous prendrons dans (i3) a assez petit pour que m%<^T.. En remplaçant d'une manière générale A„ i)are,/^, — g,,, la série V i3) peut s'écrire

Partageons maintenant cette série en trois parties. Dans la pre- ^>iière, on fait croître nie i à /tî ; dans la seconde, n variera de /?? f- 1

^u plus grand entier s inférieur à - ; enfin, dans la troisième, // va-

Hera de 5 H- i à Tinfini.

P. - I. ir>

24^ ÉQUATION DB LAPLACE. — DÊVELOPPBMEiNTS EN SÉRIES.

La première partie se compose de termes en nombre fini, et tendra évidemment vers zéro si a a été pris suffisamment petit. La seconde partie est moindre que

^[\ ma / ~" \ SI ) J

les quantités entre crochets, dans la somme, étant toutes positives, car décroît constamment de o à tt, et Ton a précisément

.V < ou .va

Passons enfin à la troisième partie. Décomposons le terme général de la manière suivante

irsin(n — i)ap rsin( /i - - i) al *)

iPsinC/i — I )al2 /sin/ia\*

Le second terme peut s'écrire

sin(9./i - - I )a sina

Le terme général sera donc moindre, en valeur absolue, que

La troisième partie, comprenant la sommation de s -\- \ à Tin fini, aura donc une valeur absolue moindre que

la somme entre parenthèses étant une série convergente. Mais on a ( ' )

(') Cette inégalité peut en effet s'écrire

(« + •)' Js ^'

SÉRIES TRIGONOMÊTRIQUES. 2l\3

nous avons donc, comme limite supérieure,

^^a* SOL

Or s est le plus grand entier inférieur à - , c'est-à-dire que

s^ I ou S7.2TZ — a:

la limite précédente sera donc moindre que

Klle est infiniment petite avec o : l'expression (i3) diflère donc de /{x)^ d'aussi peu qu'on veut, pour a suffisamment petit. Le théorème est démontré.

16. A ce théorème je joindrai, avec Riemann, la remarque suivante ;

I^ quotient

iendy quel que soit x, vers zéro, quand a tend vers zéro.

Partageons, en effet, la série qui représente l'expression précédente

V^ . / sinnaN*

en trois parties. Dans la première, n variera jusqu'à un nombre fixe m, tel que, pour /i > m, on ait | A;, } <^ e ; dans la seconde, on fait varier n depuis (m + i) jusqu'à la plus grande valeur satisfaisant à l'inégalité ha^c, c désignant une constante fixe; enfin, la troisième partie comprendra le reste de la série.

La première partie donne une somme inférieure à aQa, Q étant

et elle se vérifie immédiatement en considérant les rectangles intérieurs inscrits dans la courbe y =z —^, comme nous l'avons déjà fait à différentes reprises (Chap. I, §17).

244 ÉQUATION DE LAPL.iCE. — DÉVELOPPEMENTS EX SÉRIES.

une qiiantilc fixe; la seconde esl moindre en valeur absolue que

'22,ni ^ Àci;

enfin, la troisième partie esl moindre que

en se reportant, pour la dernière inég^alité, à réj^alité (i4)' Nous avons donc