XI

d'où suit immédiatement que le premier membre tend vers zéro en même temps que a.

17. Avant d'aborder la démon si ration du théorème deM.Cantor, relatif aux séries trigonométriques, faisons encore une remarque essentielle, due à M. Schwarz.

Soit F(j:) une fonction continue dans un in te /'va lie (^r, 6), et telle que y pour toute valeur de x dans cet inten^alle, on ait

lim = o.

Aous allons montrer que ^{x) est une fonction linéaire de x. Supposant a << />, nous considérons la fonction

<p(x) = eJF(.r)-F(a)- J-^[F(^)-F(a)]|-^'(x--a)(^-r),

i désignant ib i , et A une constante quelconque. La fonction o{x) est continue dans l'intervalle {a^ 6), et Ton a

Donc, si a est assez petit, l'expression

o(t-+- a) — îîcp(a:*) -^ o{x — a)

SÉRIES TRltiO.\0:HÉTRIQUES. 24.5

est. positive. Je dis qu'il en résullc que 'f (^) ne peut êlrc positive poil 17 aucune valeur de x dans l'intervalle (a, b). Si, en eflet, 'f (x) éla^i t positive pour certaines valeurs de x^ elle aurait un maximum pouK* une certaine valeur x^ de x^ puisque 'f («) = '^(6) = o. Par conséquent, pour a assez petil, on aurait

pai* suite,

it négatif.

însi donc, quel que soit //, et pour / rr^zt i, la fonction 'f (jr) es£ ^2égatwe ou nulle dans rinlervallc (r/, b)\ mais nous pouvons P**^*^dre h très petit et donner à / un signe tel que, pour une va- '^11 m- de JT, 'o{x) soit positif, si Ton n'a pas identiquement

F(x)-F(a)— y ~— [F(^»)--Frfl»]=o.

elle identité est donc nécessaire. Il en résulte bien que F(x) ^^^ xine fonction linéaire de x.

^^-^n remarquera que la proposition précédente serait évidente si ^~^*^ supposait que la fonction ^{x) admet des dérivées première et '**^^^-^Ondc continues dans l'intervalle (a, b).

^ ^. Nous pouvons maintenant démontrer le théorème de ^Hantor. On suppose, comme nous l'avons dit, que l'on ait

^0-+- («1 cosa:-+- pi sinx) -h. . . i- (a;, cos/i.r -4- fJ^ sin/ij") -h. . .— o,

^ ^^ égalité ayant lieu pour toute valeur de x^ sauf peut-être pour

*^ nombre limité de valeurs dans un intervalle égal à 27:. On ne

^^ d'ailleurs aucune hypothèse sur la façon dont se comporte la

^^^ pour ces valeurs exceptionnelles.

ï\emplaçons successivement, dans la série précédente, x par

^■^ — et j: — 0, et ajoutons ; il viendra

(^=r ( «0-^ («I cosjr-h pi sinjr)coso -h. . .

( -r-(.^n cosnx -f- p/i sin/ir) cosno -+-... — o,

'^ ^3^ant une valeur fixe (différente des valeurs singulières). La rela-

lion précédente aura lieu pour toute valeur de 5, sauf peul-élre u. nombre limité de valeurs dans un intervalle égal à 21^. C'est un série trigonométrique en S ; elle ne renferme que des cosinus, mai: ceci nous importe peu ; ce qu'elle présente d'intéressant pour nous

c'est que le coefficient de cos/îo tend vers zéro avec — • Nous al

Ions donc pouvoir nous borner, dans la démonstration du théorèm de M. Cantor, au cas où les coefficients des cosinus et sinus tendent vers zéro avec -• Si l'on suppose, en effet, le théorème dé? montré dans cette hypothèse, la série (i5) montre que l'on a

OLft cosnx -f- 3,1 sin/ij* ~ o.

quel que soit x (sauf peut-être un nombre limité de valeurs dam un intervalle 27î); on en conclut cl,, = ^,, = o.

Ces préliminaires étant bien compris, nous partirons maintenar de ridentité

- -h «1 cosa: -7- 61 sinr -T-. . .-- a» co^nx -+- h^ s'vanx -t-. . . = o,

qui a lieu dans les conditions indiquées, et nous faisons l^hypv

thèse légitime

lim a,i = o, liiii b^ = o.

Nous pouvons alors appliquer le théorème de Hiemann et forrn* la fonction y {x) du § 15, fonction continue pour toute valeur de^s sans aucune exception. Nous avons, d'après ce théorème,

,. riJ-H-a) — •>F(.r)-f- F( j* -- a)

Iini — = <»,

pour toute valeur de x distincte des valeurs exceptionnelles. Dor (§ 17) la fonclion F(x), entre deux valeurs exceptionnelles cob sécutives, sera une fonction linéaire de .r. La courbe

forme donc une ligne polygonale conlinue, les sommets de ligne correspondant aux valeurs singulières, si elles existent. Ma* considérons une telle valeur .2*0; la fonction F(x) ne cesse ps

SÉRIES TRIGONOMÊTRIQL'ES. 2^\J

d'èlre continue pour jc -.-. Xq^ et (§ 10 )

,. FCto — 1) -^ FiT„- 1) ■ - 2K(.r„ 1

Iim — - — — - o.

Or les deux quotients

F( j-o--g ) — F(jo) F(>o— g) — F(3-»)

représentent les coefficients angulaires des deux côtés de la ligne polygonale ayant pour sommet le point considéré. Ces deux coefficients angulaires sont donc égaux et les deux côtés sont \v prolongement Tun de Tautre. Nous en concluons que la courbe

représente une ligne droite indéfinie. Soit l'r es \- c celle droite; on aura, pour toute valeur de x, la relation

que nous écrirons

Ad ex — r - Al — -»...- ^ • . . .

Le second membre admet la période 'xt,', pour (|ur le premiei' Tadmelte. il faut que

Il reste alors

— c = «1 cosx — 6i «inx -*...•—- • . . . ;

mais la série du second membre est uniformément convergente; on peut donc appliquer, en toute rigueur, la niétborle classique pour la détermination des coefficients, ce f|iii donne immédialenierit

et le théorème est démon l ré.

'iL\S ÉQUATION DB LAPLACR. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.